Cavitate optica 1-D

Evolutiile de tipul (1.3.7) conduc la ecuatii liniare de tip master. Conditiile de conservare a urmei si pozitivitatii operatorului de stare $\hat{\rho}$ (pentru moment, renuntam la indicele $s$) sunt compatibile [165] cu urmatoarea forma generala pentru ecuatiile master posibile:

$${\frac{d\hat{\rho}(t)}{dt}}=-{\frac i\hbar }[\hat{H},\hat{\rho}(t... ...rho}(t),\hat{V}_j^{\dagger }]+[\hat{V}_j,\hat{\rho}(t)\hat{V} _j^{\dagger }]).$$

care este numit modelul Lindblad. Aici $\hat{H}$ este hamiltonianul sistemului in absenta interactiunii cu exteriorul, iar operatorii $\left\{ \hat{V}_j\right\} _j$ sunt operatori marginiti in spatiul Hilbert al sistemului $\mathcal{H},$ fiind cei care descriu interactiunea cu exteriorul; se arata ca ecuatiile Lindblad in aceasta forma sunt compatibile si cu situatia cand operatorii $\left\{ \hat{V}_j\right\} _j$ sunt nemarginiti [1,152].

Pentru o cavitate optica 1-D, cu un singur mod de oscilatie $\omega ,$ care este marginita de doua oglinzi din care una semitransparenta, expresiile pentru operatorii din ecuatia master se scriu:

$$\begin{array}{l} \hat{H}=\hbar \omega \hat{a}^{+}\hat{a} \\ ... ...e }}\hat{a} \\ \hat{V}_2=\sqrt{\kappa }\hat{a}^{+} \end{array}$$

unde constantele pozitive $\gamma ^{\prime }$ si $\kappa$ respecta, in cazul regimului predominant disipativ: $\gamma ^{\prime }>\kappa$. Utilizand reprezentarea P [20]:

$$\rho =\int\limits_D{d^2\alpha \cdot P(}\alpha ,\alpha ^{*})\vert\alpha ><\alpha \vert$$

unde $\vert a>$ sunt starile coerente, se obtine o ecuatie Focker-Plank:

$$\frac{{\partial P}}{{\partial t}}=\left[ {-i\omega \left( {\alpha... ...l ^2}}{{\partial \alpha \partial \alpha ^{*}}}} \right] P(\alpha ,\alpha ^{*})$$

care este consistenta cu ecuatia stochastica a unui proces Ornstein-Uhlenbeck:

$$d\alpha =-\left( {\frac{{\gamma -\kappa }}2+i\omega }\right) \alpha \cdot dt+ \sqrt{\kappa }d\eta (t)$$ (2.2.1)

unde $d\eta (t)$ este un proces stochastic complex Wienner:

$$\left\langle d\eta (t)\right\rangle =\left\langle d\eta ^{*}(t)\r... ...ight\rangle =\left\langle d\eta ^{*}(t)d\eta ^{*}(t^{\prime })\right\rangle =0$$

$$\left\langle d\eta ^{*}(t)d\eta (t)\right\rangle =dt$$

Solutia pentru (2.2.1) este:

$$\alpha (t)=e^{-(\gamma +i\omega )t}\left[ {\alpha (0)+\sqrt{\kappa } \int\limits_0^t{e^{(\gamma +i\omega )t^{\prime }}d\eta (t^{\prime })}}\right]$$ (2.2.2)

unde am notat:

$$\gamma =\frac{{\gamma ^{\prime }-\kappa }}2>0$$

Calculand varianta solutiei, obtinem:

$$\begin{array}{l} <\alpha (t),\alpha ^{*}(t)>=\kappa \cdot e^{... ...{\prime }}dt}=\frac \kappa \gamma (1-e^{-\gamma t}) \end{array}$$ (2.2.3)

deci un comportament asimptotic stationar, care este atins, de exemplu, in starile termice. Conform (2.2.2) avem urmatoarele solutii pentru operatorii de camp ai modului $\omega$ (in imagine Heisenberg):

$$\begin{array}{l} \hat{a}(t)=e^{-(\gamma +i\omega )t}[\hat{a}... ... )t^{\prime }}d\hat{\eta}^{\dagger }(t^{\prime })}] \end{array}$$

unde $d\hat{\eta}(t^{\prime })$ si $d\hat{\eta}{^{\dagger }}(t^{\prime })$ sunt procese stochastic operatoriale complexe de tip Wienner (definite in sensul slab):

$$<d\hat{\eta}(t)\cdot d\hat{\eta}^{+}(t)>=dt\cdot \hat{1}$$

Se pot scrie, de aici, si ecuatiile pentru operatorii pozitie si impuls (in imagine Heisenberg):

$$\begin{array}{l} \hat{Q}(t)=\sqrt{\frac \hbar {{2m\omega }}}... ...a}_1(t^{\prime })\cdot \sin \omega (t-t^{\prime })] \end{array}$$

unde $d\hat{\eta}_1(t^{\prime })$ si $d\hat{\eta}_2(t^{\prime })$ sunt procese stochastic operatoriale hermitice operatorial definite de:

$$d\hat{\eta}(t)=\frac 12\cdot \left( d\hat{\eta}_1(t)+i\cdot d\hat{\eta} _2(t)\right)$$