Cavitate optica 1-D la echilibru

Vom studia aceasta dinamica si posibilitatea scufundarii sistemului cuantic studiat intr-unul mai mare, pentru care evolutia este unitara. H. Maasen [174] a studiat aceasta posibilitate in cazul in care exista disipatie, dar termenul de zgomot este nul (cazul ne-stochastic, de echilibru); in acest caz (2.2.2) devine:

$$\alpha (t)=e^{-(\gamma +i\omega )t}\alpha (0)$$

care corespunde unei transformari in planul complex:

$$C_t:\;z\mapsto e^{-(\gamma +i\omega )t}\cdot z$$ (2.2.4)

Se poate folosi o forma particulara [174] a unei teoreme datorata lui Sz. Nagy [226]:

Data fiind contractia:

$$C_t:\Bbb{C}\to \;\;z\mapsto e^{-(\gamma +i\omega )t}\cdot z$$

exista in mod unic, pana la o echivalenta unitara, un spatiu Hilbert $\mathcal{H}$, un grup cu parametru de operatori unitari: $U_t:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$, un vector ciclic $v$ si aplicatiile $\mathcal{J}:\Bbb{{C}\to \mathcal{H}}$, $\Pi :\mathcal{H}\to \Bbb{C}$, pentru care urmatoarea diagrama este comutativa:

$$\Bbb{C}\stackrel{C_t}{\rightarrow }\Bbb{C}$$

$$\mathcal{J}\downarrow \quad \downarrow \Pi$$

$$\mathcal{H}\stackrel{U_t}{\Bbb{\rightarrow }}\mathcal{H}$$

$$\Pi (U_t (\mathcal{J}(z)) = C_t (z)$$

Structura $(\mathcal{H},\mathcal{J},\Pi ,U_t)$ se numeste dilatia minimala pentru $C_t$. Una din reprezentarile ei este data de:

$$\mathcal{H=L}^2(\Bbb{{R},}2\gamma dx)$$

$$\left( U_t(u)\right) (x)=u(x+t)$$

$$v(x)=\exp \left( -(\gamma +i\omega )x\right)$$    daca $$x\geq 0;0$$ daca $$x<0$$

$$\mathcal{J}(z)=z\cdot v$$

$$\Pi (u)=\left\langle v\vert u\right\rangle$$

Vom folosi reprezentarea de vid (Weyl) a relatiilor de comutare canonice ($CCR$) pe spatiul Hilbert $\mathcal{H}$ in cazul special cand $\mathcal{K}= \Bbb{C}$.

$$\hat{W}(f)\cdot \hat{W}(g)=e^{-\mathcal{J}{m}<f\vert g>}\hat{W}(f+g)\quad \forall f,g\in \mathcal{K}$$

$$z\mapsto \hat{W}(z)=e^{z\hat{a}-z*\hat{a}^{\dagger }}$$ (2.2.5)

Fie $\mathcal{W}_0(\mathcal{K})$ acoperirea lineara a multimii operatorilor: $\left\{ \hat{W}(f)\right\} _{f\in \mathcal{K}}$ si $\mathcal{W}(\mathcal{K} )$ inchiderea-tare pentru $\mathcal{W}_0(\mathcal{K})$. Daca $C$ este o contractie $\mathcal{K}_1\to \mathcal{K}_2$, se defineste aplicatia:

$$\mathcal{W}_0(C):\quad \mathcal{W}_0(\mathcal{K}_1)\to \mathcal{W}_0( \mathcal{K}_2)$$

$$\mathcal{W}_0(C)(\hat{W}(f))=e^{\frac 12(\vert\vert f\vert\vert^2-\vert\vert Cf\vert\vert^2)}\hat{W}(Cf)$$

care este, de asemenea, o contractie in sens tare, si se poate extinde in sens tare la un endomorfism $\mathcal{W}(C)$ definit pe $\mathcal{W}(\mathcal{K} )$. Utilizand (2.2.5) se poate defini semigrupul de evolutie ca $T_t=\mathcal{W}(C_t):$

$$T_t(\hat{W}(z))=e^{\frac 12(e^{-2\gamma t}-1)\vert z\vert^2}\cdot \hat{W}(e^{-(\gamma +i\omega )t}\cdot z)$$

din care obtinem:

$$\hat{a}(t)=T_t(\hat{a})=\frac \partial {{\partial z^{*}}}T_t(\hat{W} (z))\vert _{z=0}=$$

$$=\frac \partial {{\partial z^{*}}}\exp (e^{-(\gamma +i\omega )t}z... ...gamma -i\omega )t}z^{*}\hat{a})\vert _{z=0}=e^{-(\gamma +i\omega )}\hat{a} (0)$$

$$\hat{a}^{+}(t)=T_t(\hat{a}^{+})=-\frac \partial {{\partial z^{*}}}T_t(\hat{W} (z))\vert _{z=0}=e^{-(\gamma -i\omega )}\hat{a}^{+}(0)$$

adica ecuatiile de evolutie al modului de oscilatie $\omega$ in cavitatea optica cu disipatie, dar fara termen stochastic. In literatura este, de asemenea, studiat cazul unei cavitati optice termalizate, adica in echilibru termic cu exteriorul [150,152,184].

Un limbaj matematic alternativ pentru cel folosit aici este cel al operatorilor de tip scalar [88]. Un operator $\hat{T}$ pe un spatiu Banach $\mathcal{X},$ pentru care spectrul este pe cercul unitate $\sigma (\hat{T})\subseteq \Bbb{{T}=\left\{ \lambda \in {C}:\left\vert \lambda \right\vert =1\right\} }$ este un operator de tipul scalar generalizat, daca admite calcul functional continuu cu functii din $\mathcal{C}^\infty ( \Bbb{{T})}$. In [226] se arata ca pentru astfel de operatori este valabila teorema Sz.-Nagy, astfel ca pentru un timp discret $n\in \Bbb{Z}$ un scalar generalizat respecta o conditie de tipul:

$$\left\Vert \hat{T}^n\right\Vert =\mathcal{O}(\left\vert n\right\vert ^\alpha ),\ \alpha \geq 0$$

Operatorul $\hat{S}$ din $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ (algebra operatorilor marginiti in $\mathcal{H}$) se numeste marginit polinomial daca:

$$\left\Vert p(\hat{S})\right\Vert \leq M\sup \left\{ p(\zeta ):\zeta \in \Bbb{T} \right\} ,\ M\geq 1$$

pentru orice functie polinomiala $p$. Teorema Sz.-Nagy se aplica si pentru astfel de operatori [226,88] in sensul ca fiecare operator marginit polinomial (similar cu o contractie) are o dilatie similara cu un operator unitar, care are spectrul in $\mathcal{I}nt(\Bbb{{T})}$ si este un scalar generalizat.

Revenind la exemplul studiat, al cavitatii optice, daca echilibrul termic nu este atins, sau daca aproximatia de echilibru nu este suficienta, trebuie considerata intrega expresie din (2.2.2):

$$C_t:\;z\mapsto e^{-(\gamma +i\omega )t}\cdot (z+\zeta (t))$$ (2.2.6)

unde:

$$\zeta (t)=\sqrt{\kappa }\int_0^t{e^{(\gamma +i\omega )t^{\prime }}d\eta (t^{\prime })}$$

este un proces stochastic Brownian. Desigur, teorema Sz.-Nagy nu este aplicabila in sensul enuntului particular, referitor la contractii, pentru ca (2.2.6) nu este o transformare afina. O probleme deschisa este aceea de a se aduce limbajul scalarilor generalizati in contextul teoriei proceselor stochastice, pentru a se putea gasi o dilatie minimala si pentru ( 2.2.6).