Cazul cuantic (stari pure)

In cazul cuantic, definitiile clasice ale entropiei nu mai sunt suficiente pentru o descriere completa. In primul rand, starile cuantice sunt descrise operatori de clasa urmei pe un spatiu Hilbert, si nu de simpli vectori, ca in cazul clasic (desigur, operatorii de stare idempotenti $\hat{\rho}^2=\hat{ \rho}$ pot fi reprezentati, pana la un factor complex, prin vectori - dar in teoria cuantica orice operator de clasa urmei poate reprezenta o stare). Totodata, sistemele cuantice compuse prezinta fenomenul de entaglement, prin care atribuirea unei stari bine-definite pentru unul din sisteme devine imposibila. Cazul cel mai ''discutat'' de sisteme entanglate (amestecate) este cel al unei perechi de fotoni aflati in stare de polarizare singlet [110,4]:

$$\vert\Psi \rangle =\frac 1{\sqrt{2}}(\vert\uparrow \rangle \vert\downarrow \rangle +\vert\downarrow \rangle \vert\uparrow \rangle )$$ (3.2.4)

unde vectorii ``sus'' ( $\vert\uparrow \rangle$) si ``jos'' ( $\vert\downarrow \rangle$) descriu cele 2 stari de polarizare ortogonale ale unui foton.

Matematic, in forma generala, entaglementul se exprima prin faptul ca operatorul de stare $\hat{\rho}$ in spatiul Hilbert produs tensorial $\mathcal{H}=\mathcal{H}^{\prime }\otimes \mathcal{H}^{\prime \prime }$ dintre spatiile Hilbert ale celor doua sisteme nu poate fi scris in forma separata [237]:

$$\hat{\rho}=\sum_jw_j^{\prime }\hat{\rho}_j^{\prime }\otimes \hat{\rho} _j^{\prime \prime },$$ (3.2.5)

unde ponderile $w_i$ satisfac relatia $\sum_jw_j=1$, iar $\hat{\rho} _j^{\prime }$ ( $\hat{\rho}_j^{\prime \prime }$) descriu stari cuantice in $\mathcal{H}^{\prime }$ ( $\mathcal{H}^{\prime \prime }$).

In cazul unei stari pure $\hat{\rho}=\vert\Psi \rangle \langle \Psi \vert$, suma din (3.2.5) se reduce la un singur termen. In cazul in care sistemele nu sunt separate, desi sistemul compus se gaseste intr-o stare pura, vectorul de stare se poate aduce la forma bi-ortogonala Schmidt [211]:

$$\vert\Psi \rangle =\sum_s\sqrt{\lambda _s}\vert u_s\rangle \vert v_s\rangle$$ (3.2.6)

unde $\{\lambda _i\}_i$ sunt valorile proprii ale operatorului de stare redus:

$$\hat{\rho}^{\prime }=\mathrm{tr}^{\prime \prime }\vert\Psi \rangle \langle \Psi \vert$$

(in mod similar se poate calcula si $\hat{\rho}^{\prime \prime }=\mathrm{tr} ^{\prime }\vert\Psi \rangle \langle \Psi \vert$ si se gaseste ca $\hat{\rho}^{\prime }$ si $\hat{\rho}^{\prime \prime }$ au acelasi set de valori proprii).