Cazul starilor mixte

Pentru definirea formala a separabilitatii (si a entaglementului) pentru stari mixte, este necesara (cf. [45]) introducerea notiunii de transpunere partiala a operatorilor. Fie

$$\rho _{m\mu ,n\nu }=\sum_iw_i\,\rho _{i;mn}^{\prime }\otimes \rho _{i;\mu \nu }^{\prime \prime }$$ (3.2.15)

o reprezentare pentru (3.2.5) Definim o alta matrice, prin relatia [192]:

$$\sigma _{m\mu ,n\nu }\equiv \rho _{n\mu ,m\nu }.$$ (3.2.16)

unde doar indicii latini pentru $\hat{\rho}$ au fost transpusi. Putem scrie:

$$\hat{\sigma}=\mathcal{T}(\hat{\rho})=\sum_iw_i\,(\hat{\rho}_i^{\prime })^T\otimes \hat{\rho}_i^{\prime \prime }.$$ (3.2.17)

unde am folosit operatia de tranpunere definita prin:

$$(\hat{\rho}_i^{\prime })^T\equiv \left( (\hat{\rho}_i^{\prime })^{\dagger }\right) ^{*}$$

Desigur, operatia (3.2.17) poate fi extinsa prin linearitate la toti operatorii de clasa urmei. In [192] se arata ca un criteriu de separabilitate util este ca $\mathcal{T}(\hat{\rho})$ sa fie pozitiv semi-definit. Totusi, in [145,143] se arata ca la dimensiuni mai mari decat 3, este necesara introducerea unei distinctii intre entaglementul liber si cel legat, cel din urma fiind definit de situatia in care $\mathcal{T}(\hat{\rho})$ este pozitiv semi-definit, desi $\hat{\rho}$ nu poate fi adus la forma (3.2.5).

Un alt criteriu de separare este criteriul reducerii [146,94]

$$\hat{\rho}^{\prime }\otimes \hat{1}-\hat{\rho}\geq 0\quad si\quad \hat{1} \otimes \hat{\rho}^{\prime \prime }-\hat{\rho}\geq 0$$ (3.2.18)

care este o consecinta a criteriului transpozitiei.

Pentru stari mixte se poate defini entanglementul [234] prin relatia de minim:

$$E_1(\hat{\rho}):=\min_{\tilde{\rho}\in \mathcal{S}}\,\,\,S_1(\hat{\rho}\vert\vert \tilde{\rho})$$ (3.2.19)

unde $\mathcal{S}$ este multimea operatorilor de stare separabili. In functie de criteriul de separabilitate folosit (3.2.19) defineste entanglementul total, pentru separabilitate in sensul (3.2.5), respectiv entanglementul liber pentru separabilitate dupa criteriul transpozitiei.

O generalizare a entropiilor de tip Shannon o constituie familia entropiilor Rényi, a caror aplicatii pentru studiul entanglementului pentru starile mixte au fost studiate in lucrarile [142,93]:

$$S_\alpha (\hat{\rho})=\frac{\ln \mathrm{tr}(\hat{\rho}^\alpha )}{1-\alpha } ,\quad \alpha \in \Bbb{R}$$ (3.2.20)

(Se observa ca, pentru $\alpha =1$, se obtine entropia Shannon.) Aici nu se poate generaliza direct si entropia relativa (3.2.13). Totusi avand in vedere relatia (3.2.14), putem defini entropia relativa a unei stari entanglate $\hat{\rho}$ in raport cu starea separata $\hat{\rho}^{\prime }\otimes \hat{\rho}^{\prime \prime }$ prin relatia:

$$S_\alpha (\hat{\rho}\vert\vert\hat{\rho}^{\prime }\otimes \hat{\r... ...(\hat{\rho}\vert\vert\hat{\rho}^{\prime }\otimes \hat{\rho}^{\prime \prime })=$$

$$=S_\alpha (\hat{\rho}^{\prime })+S_\alpha (\hat{\rho}^{\prime \pr... ...\rho}^{\prime \prime })^\alpha }{\mathrm{tr}(\hat{\rho} ^\alpha )}}{1-\alpha }$$

iar masura Rényi a entanglementului pentru o stare mixta prin:

$$E_\alpha (\hat{\rho})=\min_{\tilde{\rho}\in \mathcal{S}}\,\,\,S_\... ...mathrm{tr}(\tilde{\rho}^\alpha )}{\mathrm{tr}(\hat{\rho}^\alpha )}}{ 1-\alpha }$$ (3.2.21)

O alta masura a entanglamentului se poate obtine prin generalizarea Tsallis a entropiei [62,63,227,72]

$$\tilde{S}_\alpha (\hat{\rho})=\frac{1-\mathrm{tr}(\hat{\rho}^\alpha )}{ \alpha -1}\,\,\,\alpha >0$$ (3.2.22)

care pentru $\alpha =1$ devine, deasemenea, entropie Shannon, iar pentru $\alpha =2$, entropie liniara:

$$\tilde{S}_2(\hat{\rho})=1-\mathrm{tr}(\hat{\rho}^2)\,$$ (3.2.23)

Masura Tsalis a entanglementului se scrie:

$$\tilde{E}_\alpha (\hat{\rho})=\min_{\tilde{\rho}\in \mathcal{S}}\... ...+\mathrm{tr}(\hat{\rho}^\alpha )-\mathrm{tr}(\tilde{\rho}^\alpha )}{ 1-\alpha }$$ (3.2.24)