Masuratori cuantice si instrumente cuantice

O masuratoare asupra unui sistem cuantic numit obiect este proces fizic prin care se obtin informatii exprimabile macroscopic in legatura cu obiectul. Procesul presupune o interactiune intre obiect si un alt sistem. Daca acesta este un obiect macroscopic numit instrument (de masura) vorbim de masuratoare directa. Daca obiectul interactioneaza cu un alt sistem cuantic numit proba cuantica, asupra caruia urmeaza sa se efectueze o masuratoare directa, vorbim de masuratoare indirecta. In cazul unei masuratori indirecte, informatia care se obtine de la proba prin masuratoare directa este pusa in legatura cu afirmatii referitoare la obiect ca urmare a fenomenului pur cuantic de entanglement.

Fie in sistem cuantic $S$, descris in termenii unui spatiu Hilbert complex separabil $\mathcal{H}$, care interactioneaza cu un alt sistem (care poate fi microscopic sau macroscopic). Ca urmare a interactiunii, starea sistemului $S$, descrisa de operatorul densitate $\hat{\rho}_0$ se schimba, iar la nivel macroscopic se transmite informatia legata de starea obiectului, informatie care poate fi asociata cu un punct $\omega$ dintr-un spatiu Borel $(\Omega ,\mathcal{F})$. De asemenea, notam cu $\mathcal{B(H)}$ spatiul Banach al tuturor operatorilor liniari si marginiti definiti pe $\mathcal{H}$.

Spre deosebire de fizica clasica, unde descrierile statistice ale masuratorilor sunt descrieri incomplete, utilizate pentru simplificare in cazurile cand informatia necesara unei descrieri exhaustive este prea mare, in cazul cuantic rezultatele masuratorilor pot fi descrise numai statistic, iar aceasta descriere satisface anumite criterii bine-precizate de completitudine. (Caracterul statistic presupune, de asemenea si repetarea masuratorilor in conditii identice de foarte multe ori, pentru a putea asocia probabilitatilor teoretice o interpretatare frecventiala in enunturile empirice.) O astfel de descriere trebuie sa produca probabilitatile pentru fiecare rezultat posibil $\omega \in \Omega$ si pentru toate tranzitiile de stare pentru obiect ca urmare a masuratorii. Notam cu: $\ p(B;\hat{\rho}_0)=\Pr$ob $\{\omega \in B;\hat{\rho}_0\}$ probabilitea ca $\omega \in B\in \mathcal{F}$ si cu $\mathcal{M}\{\hat{A}; \hat{\rho}_0\vert B\}$ media conditionata pentru observabila $\hat{A}\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, imediat dupa masuratoare si conditionata de $\omega \in B$. Aceasta medie poate fi legata de o stare posterioara conditionata, respectiv de operatorul densitate corespunzator $\hat{\rho} _{post}(B;\hat{\rho}_0)$:

$$\mathcal{M}\{\hat{A};\hat{\rho}_0\vert B\}=tr\{\hat{\rho}_{post}(... ...{A}\}\quad \forall \hat{A}\in \mathcal{B}(\mathcal{H}),\forall B\in \mathcal{F}$$ (4.2.1)

care are solutie unica in conditii bine precizate (completitudine informationala) [199]. Se poate defini, deasemenea, o stare posterioara neconditionata $\hat{\rho}_{post}(\Omega ;\hat{\rho}_0)$ in cazul in care rezultatul concret al masuratorii este ignorat, (in sensul in care dispozitivul experimental nu are, sau are suspendata posibilitatea fizica de a discrimina intre valori). Se poate construi, de asemenea, o familie de astfel de operatori posteriori $\{\hat{\rho}_{post}(\omega ;\hat{ \rho}_0),\omega \in \Delta \subset \Omega \}$, definita $\ p-a.p.t.$ in $\Omega$ $(\bar{\Delta}^{(p)}=\Omega )$ si numita familia de stari posterioare, legata de operatorii dati de (4.2.1) prin relatia:

$$\hat{\rho}_{post}(B;\hat{\rho}_0)=\frac{\int_B\hat{\rho}_{post}(\... ...}_0)}{p(B;\hat{\rho}_0)},\quad \forall B\in \mathcal{F},p(B;\hat{\rho}_0)\neq 0$$ (4.2.2)

Aplicatia $\mathcal{E}(\bullet ,\bullet )$: $\mathcal{F\times B(H)\rightarrow B(H)}$ se numeste instrument cuantic, daca pentru $\hat{A}\in \mathcal{B(H)}$ fixat $\mathcal{E}(\bullet ,\hat{A})$ este o masura $\sigma$-aditiva pe $(\Omega ,\mathcal{F)}$ avand ca valori $\mathcal{E}(B,\bullet ),$ $B\in \mathcal{F}$ operatori normali complet pozitivi si marginiti $\mathcal{B(H)}\rightarrow \mathcal{B(H)}$ pentru care: $\mathcal{E}(\Omega ,\hat{I})=\hat{I}$.

Atunci media conditionata $\mathcal{M}\{\hat{A}; \hat{\rho}_0\vert B\}$ se poate scrie:

$$\mathcal{M}\{\hat{A};\hat{\rho}_0\vert B\}=\frac{\mathrm{tr}\{\hat{\rho}_0 \mathcal{E}(B,\hat{A})\}}{p(B;\hat{\rho}_0)}, \forall B\in \mathcal{F}$$ (4.2.3)

Evident,

$$p(B;\hat{\rho}_0)=\mathrm{tr}\{\hat{\rho}_0\mathcal{E}(B,\hat{I})\}, \forall B\in \mathcal{F}$$ (4.2.4)

Masura operatoriala pozitiva $\sigma$-aditiva $\hat{F}(B)=\mathcal{E}(B, \hat{I})$ se numeste masura de probabilitate operatoriala pozitiva (e valabila conditia de normare probabilista: $\hat{F}(\Omega )=\mathcal{E} (\Omega ,\hat{I})=\hat{I}$), iar operatorii $\hat{F}(B)$ se numesc efecte, sau operatori fuzzy. Relatia (4.2.4) se mai scrie (cand operatorul de stare se subintelege):

$$p(B)=\mathrm{tr}\{\hat{\rho}_0\hat{F}(B)\}, \forall B\in \mathcal{F}$$ (4.2.5)

Starea posterioara conditionata se scrie:

$$\hat{\rho}_{post}(B;\hat{\rho}_0)=\frac{\mathcal{E}^{*}(B,\hat{\rho}_0)}{p(B; \hat{\rho}_0)},$$ (4.2.6)

unde $\mathcal{E}^{*}(B,\hat{\rho})\equiv \mathcal{E}(B,\bullet )^{*}[\hat{ \rho}]$ (abuz de notatie!) este aplicatia duala lui $\mathcal{E}(B,\bullet )$ , care actioneaza in spatiul Banach $\mathcal{T(H)}$ al operatorilor de clasa urmei din $\mathcal{H}$:

$$\mathrm{tr}\{\hat{\rho}\mathcal{E}(B,\hat{A})\}=\mathrm{tr}\{\mat... ...\},\quad \forall \hat{A}\in \mathcal{B(H)},\forall \hat{\rho}\in \mathcal{T(H)}$$ (4.2.7)

Urmand [26] numim $\mathcal{E}^{*}(\bullet ,\bullet )$ instrumentul asociat sau dual lui $\mathcal{E}(\bullet ,\bullet )$. Din conditia de urma $1$ pentru operatorul starii posterioare rezulta:

$$p(B;\hat{\rho}_0)=\mathrm{tr}\{\mathcal{E}^{*}(B,\hat{\rho}_0)\}, \forall B\in \mathcal{F}.$$ (4.2.8)

Familia starilor posterioare conditionate este definita $\ p-a.p.t.$ (aproape peste tot in raport cu masura $p$) in $\Omega$ prin relatia:

$$\int_B\mathrm{tr}\{\hat{\rho}_{post}(\omega ;\hat{\rho}_0)\hat{A}... ...}(B,\hat{A})\},\quad \forall \hat{A}\in \mathcal{B(H)},\forall B\in \mathcal{F}$$ (4.2.9)

Se observa ca aceasta se poate scrie ca derivata Radon-Nikodyn in raport cu $p$ a masurii operatoriale $\mathcal{E}^{*}(\bullet ,\hat{\rho}_0)$:

$$\hat{\rho}_{post}(\omega ;\hat{\rho}_0)=\frac{d\mathcal{E}^{*}(\bullet ,\hat{ \rho}_0)}{dp(\bullet ,\hat{\rho}_0)},$$ (4.2.10)

iar starea posterioara neconditionata este:

$$\hat{\rho}_{post}(\Omega ;\hat{\rho}_0)=\mathcal{E}^{*}(\Omega ,\hat{\rho}_0)$$ (4.2.11)

In [167], pentru forma cea mai generala a unui instrument cuantic este data de urmatoarea teorema de reprezentare: