Exemplu

Ca exemplu luam analogul continuu pentru (4.3.41) care este dat de:

$$\langle x\vert\widehat{\mathcal{F}}_c\vert x^{\prime }\rangle =\frac 1{\sqrt{\sqrt{ \pi }\sigma }}\exp (-\frac{(x-x^{\prime })^2}{2\sigma ^2})$$ (4.3.46)

$$\widehat{\mathcal{F}}_c=\sqrt{2\sqrt{\pi }\sigma }\exp (-\frac 12\sigma ^2 \widehat{k}^2)$$

unde $\widehat{k}$ este operatorul numar de unda, conjugat lui $\widehat{x}$ .

In [14] se arata ca $\mathcal{E}^{*}(B,\widehat{\rho })$, instrumentul cuantic corespunzator la (4.3.44), este solutia unei conditii de covarianta:

$$\mathcal{E}^{*}(B+a,\widehat{\rho })=\widehat{U}_a^{+}\mathcal{E}^{*}(B, \widehat{U}_a\widehat{\rho }\widehat{U}_a^{+})\widehat{U}_a$$

unde $\widehat{U}_a$ este operatorul de translatie peste $\Bbb{R}$,

$$\widehat{U}_a=\exp (ia\widehat{k})$$

Pornind de la (4.3.42) calculam elementele de matrice in spatiul numarului de unda si obtinem:

$$\langle k\vert\widehat{\mathcal{F}}_c\vert k^{\prime }\rangle =(\sqrt{f})^{\symbol{126 }}\delta (k-k^{\prime })$$

$$\widehat{\mathcal{F}}_c=(\sqrt{f})^{\symbol{126}}(\widehat{k})$$

uinde $(\sqrt{f})^{\symbol{126}}$ este transformata Fourier pentru $\sqrt{ f(x)}$. Rezulta ca $[\widehat{\mathcal{F}}_c,\widehat{U}_a]=0$, deci putem demonstra usor ca aplicatia complet pozitiva (4.3.45) este, de asemenea, covarianta in raport cu translatiile spatiale.