Principiul metodei

Fie o bara elastica 1-D semi-infinita (axa $Ox$este axa de simetrie). Presupunem ca densitatea $rho$materialului, aria sectiunii transversale $S$sau modulul lui Young $E$pot varia, cu o anumita regularitate, in functie de $x$. Folosim ecuatia de propagare a undelor longitudinale obtinuta in [238]

$displaystyle frac partial {partial x}left( Eleft( xright) Sleft( xrigh......ght) Sleft( xright) frac{partial ^2Psi left( x,tright) }{partial t^2}=0$

(5.2.1)

pe care o rescriem ca:

$displaystyle frac partial {partial x}left( fleft( xright) frac{partial......v^2}gleft( xright) frac{ partial ^2Psi left( x,tright) }{partial t^2}=0$

(5.2.2)

Aici $f(x)=frac{Eleft( xright) Sleft( xright) }{leftlangle Eleft(xright) Sleft( xright) rightrangle }$si $g(x)=frac{rho left(xright) Sleft( xright) }{leftlangle rho left( xright) Sleft(xright) rightrangle }$sunt doua functii care descriu neomogenitatile marimilor amintite, relativ la mediile corespunzatoare din mediul respectiv, iar $v$este viteza de propagare a undelor longitudinale in mediul omogen avand ca valori caracteristice aceleasi valori medii pentru mediul neomogen (mediul omogen de referinta) $v=sqrt{frac{leftlangle Eleft( xright)rightrangle }{leftlangle rho left( xright) rightrangle }}$. Transformata Fourier a ecuatiei (5.2.2) este ecuatia componentelor monocromatice:

$displaystyle frac partial {partial x}left( fleft( xright) frac{partial......ght) }{partial x}right) +qleft( x,omega right) uleft( x,omega right) =0$,

(5.2.3)

unde

$displaystyle Psi left( x,tright) =frac 1{2pi }intlimits_{-infty }^infty uleft( x,omega right) exp left( -iomega tright) dt$,

(5.2.4)

si

$displaystyle qleft( x,omega right) =left( frac omega vright) ^2gleft( xright)$   .

(5.2.5)

In principiu, ecuatia (5.2.3) poate fi rezovata direct. Totusi, dupa cum se arata si in [181], rezolvarea este usurata daca efectuam dezvoltari Taylor pentru functiile: $fleft( xright)$, $gleft(xright)$si $uleft( x,omega right)$:

$displaystyle f(x)=stackrel{infty }{sumlimits_{n=0}}a_n(x-x_0)^n$

(5.2.6)

$displaystyle g(x)=stackrel{infty }{sumlimits_{n=0}}b_n(x-x_0)^n$

(5.2.7)

$displaystyle uleft( x,omega right) =sumlimits_{nin mathbb{N}}c_n(omega )(x-x_0)^n$

(5.2.8)

Inlocuind (5.2.6), (5.2.7) si (5.2.8) in (5.2.2) se obtine urmatoarea relatie de recurenta pentru coeficientii necunoscuti $c_n(omega)$($ngeq 2$):

$displaystyle c_{n+2}(omega )=-frac 1{(n+1)(n+2)b_0}[a_0cdot left( frac omegavright) ^2c_n(omega )+$

$displaystyle +stackrel{n+1}{sumlimits_{m=1}}(a_mcdot left( frac omega vright) ^2c_{n-m}(omega )+b_mcdot (n+1)cdot (n-m+2)cdot c_{n-m+2}(omega ))]$

(5.2.9)

Ei pot fi calculati in functie de coeficientii initiali:

$displaystyle c_0(omega )=uleft( x_0,omega right)$

$displaystyle c_1(omega )=frac{partial uleft( x,omega right) }{partial x}vert _{x=x_0}$

Daca punctul $x_0$este ales corespunzator (omogenitate locala a mediului), putem utiliza o conditie de retardare pura pentru injectia pulsului in $x=x_0$:

$displaystyle Psi left( x,tright) cong mathtt{f}(t-frac xv)$

(5.2.10)

si se obtine:

$displaystyle uleft( x,omega right) cong e^{ifrac omega v(x-x_0)}uleft( x_0,omegaright)$

de unde rezulta:

$displaystyle c_1(omega )=ifrac omega vc_0(omega )$

(5.2.11)

Daca alegerea (5.2.10) nu e suficient de corecta, rezultatul se poate ajusta printr-o metoda de tip propagare inversa. In conditiile (5.2.11) este suficienta cunoasterea valorilor $Psi left( x_0,tright)$pentru toate momentele de timp:

$displaystyle c_0(omega )=int Psi left( x_0,tright) e^{iomega t}dt$

O crestere optima a vitezei de calcul se poate realiza printr-o partitie a intervalului de studiu in intervale de lungimi $delta _k$: in limitele carora efectuam dezvoltarile Taylor. Prin aceasta metoda constatam ca sunt necesare doar cateva componenete Taylor $N_k$, ceea ce duce la reducerea drastica a timpului CPU. Dupa cum vom arata mai jos (vezi FIG. 5.1), au fost necesare intre 5 si 10 componente, la o divizare suficient de fina, cu pasi intre $0,005cdot lambda$si $0,02cdot lambda$. Vom arata, de asemenea ca erorile de trunchiere, care ar putea duce la scaderea acuratetei, nu depind de numarul de intervale in care se face divizarea, deci metoda asigura o convergenta buna a calculului numeric.