Controlul si limitatarea erorilor de trunchiere

Fie descompunerea polara a unei componente Fourier:

$displaystyle uleft( x,omega right) =Aleft( x,omega right) exp left[ ivarphi left( x,omega right) right]$   ,

(5.2.12)

Atunci solutia generala pentru ecuatia undelor $Psi left( x,tright)$devine o suprapunere lineara a componentelor $omega$-monocromatice date de:

$displaystyle psi _omega (x,t)=Aleft( x,omega right) exp left{ ileft[ varphi left( x,omega right) -omega tright] right}$   .

(5.2.13)

Conform (5.2.13), se poate defini un vector de unda local, o viteza de faza locala, si o viteza de grup locala:

(5.2.14)

Aceste marimi caracterizeaza proprietatile dispersive ale mediului si pot fi calculate practic numai dupa rezolvarea ecuatiei (5.2.3). Integrand partea imaginara a ecuatiei (5.2.3) se obtine:

$displaystyle F(x,omega )=qleft( xright) A^2left( x,omega right) kleft( x,omega right) =const$

(5.2.15)

(rezultat uzual din teoria ecuatiilor diferentiale; pentru amanunte legate de implementarea numerica vezi: [180]). Aceasta ''lege de conservare'' poate folosita pentru controlul erorilor de trunchiere.

(5.2.16)

Se calculeaza marimile (5.2.16) si $F(x,omega )$si se compara rezultatul, fie cu cel obtinut in punctul curent initial $x_0$:

$displaystyle E_nleft( x,omega right) =frac{Fleft( x,omega right) -Fleft( x_0,omega right) }{Fleft( x_0,omega right) }$

(5.2.17)

fie cu cel din punctul curent la iteratia precedenta, impunandu-se o conditie de tipul:

,

(5.2.18)

pentru un $varepsilon$fixat, ceea ce se poate obtine prin ajustarea parametrilor numerici, mai exact prin micsorarea valorilor $delta _k$si/sau cresterea valorilor pentru $N_k$. Unele rezultate numerice sunt prezentate in FIG.5.1.