Evolutia componentelor monocromatice

Fie cazul unui mediu care este omogen pentru x<0, si avand o neomogenitate periodica de tip armonic pentru $x>0$:

$$p_i(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\eta _i, & x\leq 0 \\ 1+... ...t[ {\frac{{2\pi }}\lambda x}\right] , & x>0 \end{array}\right.$$

unde $p_1(x)=f(x)$ si $p_2(x)=g(x)$, $\eta _{1,2}$ sunt constante pozitive, iar $\lambda$ este perioada spatiala a neomogenitatilor. Desigur, pentru x<0, vectorul de unda (5.2.14) este:

$$k(0)=\sqrt{\frac{{g(0)}}{{f(0)}}}$$

iar marimea (5.2.15)

$$F(0)=\sqrt{f(0)g(0)}$$

Notam

$$\xi \equiv \frac{{\omega \lambda }}{{2\pi }v}=\frac \lambda {{\lambda _0}}$$

unde $\lambda _0$ este lungimea de unda a unei componente monocromatice de pulsatie $\omega$ in mediul omogen $(x<0)$. Cazurile $\xi >>1$, $\xi \cong 1$ si $\xi <<1$ corespund, respectiv, la frecvente foarte mari, medii si foarte mici. Un calcul numeric al erorilor arata ca, in general, o alegere $N=5$ si $\delta =0.001$ asigura o eroare relativa suficient de mica ($<$ $4\cdot 10^{-6}$, dupa $3000$ de iteratii) pentru $\xi \in \left[ {0,10} \right]$ (vezi Fig. A1 in anexa).

In cazul unei neomogenitati de tip armonic pentru modulul de elasticitate avem $\eta _1=0$ si $\eta _2\neq 0$. In general, compotamentul solutiilor monocromatice in cele trei domenii de frecventa este diferit. In FIG.5.2 (a)-(c) am reprezentat marimile relative $A\left( x,\omega \right) /A_0$ si $v_\varphi \left( x,\omega \right) /v$ (unde $A_0$ si $v$ sunt valorile corespunzatoare la $x=0$) in raport cu $x/\lambda$, in cele trei domenii de frecventa si pentru $\eta _2=0,5$. Astfel, la frecvente mari $(\xi =5$,FIG.5.2(a)$)$ amandoua marimile prezinta o dependenta armonica cu perioada $\lambda$; in domeniul intermediar $\xi =0,5$, datorita efectelor de rezonanta, apare o crestere cu $x$ a valorilor, pe fondul unui comportament cuasi-armonic cu aceeasi perioada (FIG.5.2(b)), in timp ce in domeniul frecventelor mici $\xi =0,05$, comportamentul periodic revine, dar este ne-armonic (FIG.5.2(c)).

La frecvente mari ($\xi >>1$), rezultatele numerice arata ca solutia este modulata in amplitudine si faza (vezi in FIG.5.3 dependenta partilor reala si imaginara ale unei componete Fourier $u\left( x,\omega \right)$, pentru $\xi =5$)

In cazul unei neomogenitati de tip armonic pentru sectiunea mediului avem $\eta _1=\eta _2=\eta$. In FIG.5.4 am reprezentat marimile relative $A\left( x,\omega \right) /A_0$ si $v_\varphi \left( x,\omega \right) /v$ in raport cu $\omega /10\pi \lambda$, pentru $x=3\lambda$ si $\eta =0,2$. Se observa ca dispersia este redusa pentru frecventele extreme, dar foarte pronuntata in domeniul intermediar, ceea ce duce la distorsiuni insemnate ale pulsurilor cu largime finita.

In FIG.5.5 sunt hartile de intensitate pentru dependenta marimilor $A$ , $k$ si $V_\varphi$ vs. $\xi$ si $x/\lambda$