Evolutia pulsurilor cu largime finita

Utilizand metoda descrisa mai sus se poate determina numeric evolutia componentelor monocromatice ale unui puls acustic. Pentru a determina evolutia intregului puls, ecuatia de evolutie (5.2.2) fiind liniara, se insumeaza componentele monocromatice pe domeniul semnificativ de frecvente, dupa care se efectueaza transformarea Fourier temporala inversa. Astfel putem calcula solutia raportata la valoarea din punctul de injectie al pulsului, la momentul initial:

$$\psi (x,t)=\frac{\sum\limits_\omega u\left( x,\omega \right) \exp \left( -i\omega t\right) }{\sum\limits_\omega u\left( x_0,\omega \right) }$$ (5.4.20)

Pentru cazul $\eta _1=0$ si $\eta _2=0,2$ evolutia unui puls initial gaussian in frecventa:

$$c_0(\omega )=A\cdot exp(-\frac{(\frac{{\omega \lambda }}{{2\pi }v})^2} 4)=A\cdot \exp (-\frac{\xi ^2}4)$$ (5.4.21)

este reprezentata in FIG.5.6

Se observa ca acesta isi modifica forma periodic, conform cu periodicitatea neomogenitatii. De asemenea, viteza de grup nu este constanta, deplasarea maximului fiind de ordinul $0,37x/\lambda$ intre $t=24$ si $t=28$, si de numai $0,26x/\lambda$ intre $t=32$ si $t=36$. Desigur, dispersia se datoreaza componentelor Fourier de frecventa medie care sunt importante in constructia pulsului (5.4.21). In FIG.5.7(a) este reprezentata pozitia maximului fata de cea asteptata in mediul omogen de referinta $x_h(t)/\lambda =v\cdot t/\lambda .$ Se observa o oscilatie periodica in jurul lui 0. Amplitudinea relativa (5.4.20) la momentul $t=\lambda /v$ si viteza de faza sunt reprezentate in FIG.5.7(b) in raport cu $x/\lambda$. Se observa periodicitatea egala cu cea a neomogenitatii, faptul ca maximile si minimile sunt usor deplasate fata de valorile din mediul omogen de referinta: $x/\lambda =(2n+1)/2$. De asemenea, maximile amplitudinii nu corespund exact cu minimile vitezei de faza, iar amplitudinea creste usor datorita dispersiei.

Un interes practic deosebit il prezinta pulsurile gausiene modulate cosinusoidal in inalta frecventa $\xi _0=\frac{{\omega }_0{\lambda }}{{2\pi } v}\gg 1$:

$$c_0(\omega )=A\cdot \exp (-\frac{(\xi -\xi _0)^2}4)$$ (5.4.22)

care se folosesc in defectoscopia ultrasonica nedistructiva. In FIG.5.8 este ilustrat cazul $\xi _0=30$, pentru un mediu cu sectiune variabila $\eta _1=\eta _2=\eta =0,5$.

Nu exista dispersie observabila (componentele de frecventa mica si medie sunt neglijabile), dar in interiorul unei perioade spatiale a neomogenitatii amplitudinile si distantele intre maximele secundare variaza. ''Legea de miscare'' a pulsului, respectiv amplitudinea relativa (5.4.20) la momentul $t=\lambda /v$ si viteza de faza in raport cu $x/\lambda$ sunt reprezentate in FIG.5.9a-b). Se observa o periodicitate egala cu cea a neomogenitatii.

In FIG.5.10 a fost reprezentata dependenta amplitudinii relative (5.4.20) la momentul $t=\lambda /v$ in raport cu $\eta$ pentru acelasi tip de sursa gaussiana modulata cosinusoidal in inalta frecventa ($\xi _0=30$). S-a mai observat ca pozitiile amplitudinilor maxime (nereprezentate in grafic) depind numai de $\lambda$, si coincid cu minimile sectiunii transversale.