Metoda numerica

In aceasta sectiune prezentam o metoda care poate fi folosita in rezolvarea ecuatiei Schrodinger pentru o forma generala a dependentei de timp si pozitie pentru energia potentiala, fara a face referire la transformata Fourier. Se poate cauta solutia ecuatiei folosind urmatoarea substitutie Euler explicita:

$$\Psi (x,t)=N\cdot exp[\sum\limits_{n=0}^\infty \alpha _n(t)\cdot x^n].$$ (6.3.4)

Folosim dezvoltarea in serie a energiei potentiale in raport cu $x$:

$$V(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1{n!}V_x^{^{\prime }(n)}(0,t)\cdot x^n.$$ (6.3.5)

Conditiile initiale sunt date de:

$$\Psi (x,0)=N\cdot exp[\sum\limits_{n=0}^\infty \alpha _n(0)\cdot x^n]$$ (6.3.6)

Utilizand aceste dezvoltari in serie ecuatia Schrodinger devine:

$$\dot{\alpha}_n(t)-\frac{i\cdot \hbar }{2\cdot m}[(n+2)\cdot (n+1)\cdot \alpha _{n+2}+$$ (6.3.7)

$$+\sum\limits_{k=0}^n(k+1)\cdot (n-k+1)\cdot \alpha _{k+1}\cdot \alpha _{n-k+1}]+\frac 1{n!}V_x^{^{\prime }(n)}(0,t)=0$$

Se poate verifica faptul ca daca avem coeficienti initiali nenuli doar pentru $n<n_0$ (inclusiv $\frac 1{n!}V_x^{^{\prime }(n)}(0,t)$), toti coeficientii pentru $n>2\cdot n_0$ raman nuli la orice moment ulterior (se pot efectua in (6.3.7) derivari de orice ordin in raport cu timpul la $t=0$ si se obtin valori nule). Relatia (6.3.7) poate fi utila, atat pentru calcule analitice, sau pentru algoritmi numerici (cu diferente finite):

$$\alpha _{n,p+1}=\alpha _{n,p}+\frac{i\cdot \hbar \cdot t_0}{2\cdot m} [(n+2)\cdot (n+1)\cdot \alpha _{n+2,p}+$$ (6.3.8)

$$+\sum\limits_{k=0}^n(k+1)\cdot (n-k+1)\cdot \alpha _{k+1,p}\cdot \alpha _{n-k+1,p}]+\frac 1{n!}V_x^{^{\prime }(n)}(0,p\cdot t_0)$$

In (6.3.8) se alege un pas temporal finit $t_0$. Desigur, se poate itera (6.3.8) pentru a estimata $\{\alpha _{n,p}\}_n$ la orice moment $p\cdot t_0$ in functie de coeficientii initiali $\{\alpha _{n,0}\}_n$ obtinuti din (6.3.6).