Evolutie determinista

In mecanica clasica, starile unui sistem controlabil sunt descrise prin puncte $\emph{x}$ apartinand unei varietati diferentiale simplectice $(\Bbb{X },\sigma )$, care atunci cand nu sunt implicate coordonate ciclice, se reduce la un spatiu al fazelor de tip euclidian [53]. $\sigma (\bullet ,\bullet )$ este o forma reala, biliniara, antisimetrica si maximal inchisa, iar $\Bbb{X}$ este o varietate para, cu dimensiune $2n$ si in care se pot defini bazele simplectice $\{e_j,f_j\}_{j=1,...,n}$, prin relatiile $\sigma (e_j,e_k)=\sigma (f_j,f_k)=0$ si $\sigma (e_j,f_k)=-\sigma (f_k,e_j)=\delta _{jk}$, $j,k=1,...,n$. Coordonatele $(\xi ^j,\eta ^j)$ ale unui vector $x\in \Bbb{X}$ sunt date de relatia

$$x=\sum_{j=1}^n(\xi ^je_j+\eta ^jf_j)$$

In $(\Bbb{X },\sigma )$ se poate defini masura simplectica (Liouville) $d\mu (x)=\prod_{j=1}^nd\xi ^jd\eta ^j$ care este aceeasi pentru orice baza simplectica [214]. Se poate introduce operatorul linear $J$ definit pe $\Bbb{X}$ defined prin relatiile $Je_k=-f_k$ si $Jf_k=e_k$, $\forall k=1,...,n$. Proprietatile:

$$\sigma (Ju,u)\geq 0$$

$$\sigma (Ju,v)+\sigma (u,Jv)=0$$

sunt evidente [214]. Un vector tangent la varietate intr-un punct $x$ este orice element de forma $\nabla h$, unde $h$ este orice functie diferentiabila definita pe $\Bbb{X}$. Astfel, se pot identifica elementele unei baze canonice in spatiul tangent $\mathcal{T}\Bbb{X}_x$:

$$e_j=\frac \partial {\partial \xi ^j},\ f_j=\frac \partial {\partial \eta ^j}$$

respectiv in spatiul dual $\mathcal{T}^{*}\Bbb{X}_x$ (cotangent):

$$e^{*j}=d\xi ^j,\ f^{*j}=d\eta ^j$$

Un camp vectorial se scrie atunci ca:

$$F\left( x\right) =\sum_{j=1}^n\left( \frac{\partial h}{\partial \xi ^j}d\xi ^j+\frac{\partial h}{\partial \eta ^j}d\eta ^j\right) \left( x\right)$$

unde $h$ este o functie diferentiabila. Pentru orice vector $\mathrm{v}$ tangent la o varietate simplectica se poate defini o 1-forma duala $\sigma _{ \mathrm{v}}(\mathrm{v}^{\prime })=\sigma \left( \mathrm{v,v}^{\prime }\right)$, astfel ca aplicatia: $\mathcal{T}\Bbb{X}_x\rightarrow \mathcal{T} ^{*}\Bbb{X}_x$:

$$\mathrm{v}\mapsto \sigma _{\mathrm{v}}$$

este un izomorfism; inversul sau este notat $\mathcal{I}:\mathcal{T}^{*}\Bbb{ X}_{\emph{x}}\rightarrow \mathcal{T}\Bbb{X}_{\emph{x}}$ $\cite{Arnold}$ si are aceeasi expresie matriciala ca operatorul simplectic $J$. Daca $H$ este o functie diferentiabila definita pe $\Bbb{X}$ pe care o asociem cu energia sistemului, iar $dH$ este forma sa diferentiala, atunci $\mathcal{I}dH$ este un câmp vectorial, numit câmp hamiltonian. Evolutia unui sistem care interactioneaza cu un camp de forte ce asigura conservarea energiei $H$ (conservativ) este data de acest camp vectorial:

$$\dot{x}=\mathcal{I}dH(x)$$ (1.2.1)

Solutia pentru ecuatia (1.2.1) se poate scrie cu ajutorul unui grup cu parametru de difeomorfisme: $g^t:\Bbb{X\rightarrow X}$

$$x(t)=g^tx(0)$$

numit curentul hamiltonian al functiei $H$. Curentul hamiltonian este un grup Lie, iar in acest referential matematic general, proprietatile evolutiei sistemului pot fi descrise cu ajutorul acestor grupuri. Daca $G$ este un grup Lie ce actioneaza tranzitiv pe varietatea $\Bbb{X},$ se defineste reprezentarea grupului prin $\varphi _g:$

$$\varphi _g\left( x\right) =gx\ \forall g\in G$$

si duala sa $\varphi _g^{*}$ prin:

$$(\varphi _g^{*}F)\left( x\right) =\sum_{j=1}^n\left( \frac{\parti... ...{\partial h\circ \varphi _g}{ \partial \eta ^j}d\eta ^j\right) \left( x\right)$$

Se spune ca un grup $G$ actioneaza simplectic pe varietatea simplectica $(\Bbb{X },\sigma )$, daca:

$$\left( \varphi _g^{*}\sigma \right) \left( \mathrm{v,v}^{\prime }... ...{\prime }\right) =\sigma \left( \mathrm{v,v}^{\prime }\right) \ \forall g\in G$$

Daca un grup actioneaza simplectic, se arata usor [53] ca pentru orice $g$ exista o marime specifica sistemului care se conserva. Aceasta este:

$$J_g=\tilde{g}\cdot \sigma$$

unde vectorul $\tilde{g}$ din spatiul tangent la grupul Lie $G$ (interpretat ca varietate diferentiala) este (contra-)imaginea prin aplicatia exponentiala a elementului $g\in G$ (forma generala a teoremei Noether).