Masuratori imperfecte cu dispozitivul Stern-Gerlach

Experimentul Stern Gerlach este considerat deseori un prototip pentru masuratoarea-filtru , adica o masuratoare cu doua raspunsuri posibile, care practic sunt exprimate prin disparitia obiectului masurat sau prin prezervarea lui. Unei masuratori -filtru ideale ii corespunde un proiector $\hat{E}(B)$ din familia spectrala a operatorului autoadjunct asociat marimii fizice masurate:

$$\hat{A}=\int \lambda \hat{E}(d\lambda )$$

Dar aceste masurari-filtru sunt in realitate niste idealizari ale masurarilor realizate cu dispozitive reale. O problema majora a epistemologiei teoriei cuantice o constitue influenta neidealitatii aparatului asupra formalismului matematic al teoriei, iar acest lucru este urmarit intr-o maniera coerenta matematic (dupa cum am aratat mai sus) in Fizica cuantica operationala (OQP) [14,53]. Aici vom folosi formalismul OQP pentru a identifica niste parametri cu relevanta experimentala, care sa descrie influenta ne-idealitatii asupra masuratorii spinului unui atom cu ajutorul dispozitivului Stern-Gerlach. O metoda similara a fost utilizata in [119] pentru cazul unor polarizori imperfecti.

Daca $\hat{\rho}_{s}$ si $\hat{\rho}_{b}$ sunt operatorii de stare pentru atom, respectiv pentru instrumentul de masura la un moment $t_{0}$ la care masuratorea nu a inceput, operatorul de stare pentru sistemul compus din obiectul masurat si instrument poate fi scris ca operatorul de stare factorizat:

$$\hat{\rho}(t_{0})=\hat{\rho}_{s}(t_{0})\otimes \hat{\rho}_{b}(t_{0})$$

Presupunem ca masuratoarea incepe la un moment ulterior $t_{i}$ si inceteaza la momentul $t_{f},$ deci hamiltonianul sistemului compus este de tipul:

$$\widehat{H}\left( t\right) = \begin{array}{l} \widehat{H}_{0... ...eft( t\right) ,\quad t\in \left[ t_{i},t_{f}\right] \end{array}$$

Starea sistemului compus, dupa inceperea interactiei, nu mai poate fi factorizata, iar procedura standard este ca la un moment $t>$ $t_{f}$ sa atribuim atomului starea obtinuta prin operatia de urma partiala:

$$\hat{\rho}_{s}(t)=\mathrm{tr}_{b}(\hat{\rho}(t))$$

unde:

$$\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t,t_{0})\hat{\rho}_{s}(t_{0})\otimes \hat{\rho} _{b}(t_{0})\hat{U}^{\dagger }(t,t_{0})$$

$$\hat{U}(t,t_{0})=\mathbb{T}\exp \left( -\frac{i}{\hbar }\int_{t_{0}}^{t}dt^{ \prime }\widehat{H}\left( t^{\prime }\right) \right)$$

Rezultatul acestor operatii este ca starea $\hat{\rho}_{s}(t)$ nu mai poate fi pura, (chiar daca la momentul $t_{0}$ era).

In general, orice stare mixta se poate descompune intr-o combinatie convexa al carei prim termen poate fi oricare operator statistic, dar, desigur, aceasta descompunere nu este, in general, ortogonala [5]. In general, descompunerea ortogonala exista, fiind tocmai descompunerea spectrala a operatorului autoadjunct, care este si unica, in cazul in care o valoare spectrala nu e degenerata. Conditia pe care trebuie s-o indeplineasca un Hamiltonian de interactie la masuratoareaa unei marimi fizice este ca, in urma interactiunii, $\hat{\rho}_s(t)$ sa se descompuna convex, dupa o submultime ortogonala si completa a operatorilor spectrali (proiectori). In cazul experimentului Stern - Gerlach, daca lucram cu reprezentarea bidimensionala uzuala a spinului 1/2 (cu baza data de vectorii $\vert\uparrow \rangle$ si $\vert\downarrow \rangle$), conditia amintita se scrie:

$$\hat{\rho}_s(t)=w_{\uparrow }(t)\hat{\rho}_{\uparrow }(t)+(1-w_{\uparrow }(t))\hat{\rho}_{\downarrow }(t)$$

Transformarea:

$$\hat{\rho}_s(t_0)\mapsto \hat{\rho}_s(t),\quad t>t_f$$

este o aplicatie complet pozitiva, care, in cazul bidimensional la care ne referim, poate fi scrisa in forma [31]:

$$\hat{\rho}_s(t)=\sum\limits_{m=\uparrow ,\downarrow }\widehat{\mathcal{A}} _m^{\dagger }\widehat{\rho }(t_0)\widehat{\mathcal{A}}_m$$ (7.3.28)

unde operatorii $\left\{ \widehat{\mathcal{A}}_m\right\} _{m=\uparrow ,\downarrow }$ indeplinesc conditia:

$$\sum\limits_{m=\uparrow ,\downarrow }\widehat{\mathcal{A}}_m^{\dagger } \widehat{\mathcal{A}}_m=\hat{1}$$ (7.3.29)

In OQP se postuleaza existenta a inca unui tip de transformare:

$$\hat{\rho}_s(t)=\left( \widehat{\mathcal{A}}_m^{\dagger }\widehat{\rho }(t_0) \widehat{\mathcal{A}}_m\right) _{\uparrow ,\downarrow }$$ (7.3.30)

ce corespunde situatiei cand masuratoarea a fost efectuata, iar rezultatul ei este una din valorile $\uparrow$ sau $\downarrow$. (7.3.28) este numita masuratoare neselectiva, iar (7.3.30) sunt masuratori selective.

Cei doi termeni ai (7.3.29) $\hat{F}_{m}=\widehat{\mathcal{A}} _{m}^{\dagger }\widehat{\mathcal{A}}_{m}$ sunt operatori pozitivi, generalizari ale proiectorilor pe starile pure $\vert\uparrow \rangle$ si $\vert\downarrow \rangle .$ In OPQ ei sunt numiti efecte, iar aplicatiile (7.3.28) si (7.3.30) sunt dualele unor aplicatii asupra observabilelor, care se numeste instrumente cuantice .

Evident, acelasi instrument (dispozitiv) experimental poate corespunde la diferite instrumente cuantice, daca dispozitivul este rotit cu un unghi in jurul unei axe. La rotirea dispozitivului cu un unghi $\theta$ in jurul axei data de versorul $\vec{n},$ instrumentul cuantic trebuie sa respecte o conditie de covarianta, care se exprima prin relatia:

$$\widehat{\mathcal{A}}(\theta )_{m}=\hat{U}^{\dagger }(\theta )\wi... ...eta )=\exp \left( -i\theta \frac{\vec{n}\cdot \widehat{\vec{S}}}{\hbar }\right)$$ (7.3.31)

unde $\hat{U}(\theta )$ este grupul de simetrie al rotatiilor, al carui generator este, in general, operatorul moment cinetic total, pe care aici il putem considera egal cu cel intrinsec de spin.

Operatorii de stare si cei ai instrumentului pot fi descompusi dupa baza matricilor Pauli:

$$\left\{ \hat{1},\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y,\hat{\sigma}_z\right\}$$

in care pentru ultimile trei folosim notatia vectoriala uzuala: $\overrightarrow{\hat{\sigma}}=\left( \hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y,\hat{ \sigma}_z\right)$:

$$\hat{\rho}=\frac 12\left( \hat{1}+\vec{r}\cdot \overrightarrow{\h... ... \right) ,\quad \vec{r}=\vec{r}^{*},\quad \left\vert \vec{r}\right\vert \leq 1$$

$$\widehat{\mathcal{A}}=\alpha \hat{1}+\vec{\beta}\cdot \overrighta... ...lpha =\alpha _r+i\alpha _i\in \Bbb{C},\vec{\beta}=\vec{\beta }_r+i\vec{\beta}_i$$ (7.3.32)

unde am omis indicile spinorial.

Conditia ca experimentul Stern-Gerlach sa poata fi considerat un filtru pentru masurarea proiectiei spinului unui atom pe o anumita axa, este ca sa se efectueze o separare spatiala a doua componente spinoriale, iar in zona in care este localizata una din ele sa poata fi plasat un ecran. In acest caz vor trece ''dincolo'' de dispozitiv, atomi care pot fi asociati cu cealalta componenta spinoriala. Asociem fiecarei din cele doua situatii cate unul din efectele $\hat{F}_{\uparrow }$ si $\hat{F}_{\downarrow }.$

O problema importanta este determinarea coeficientilor care definesc instrumentul. Avand in vedere conditia (7.3.29) putem obtine unele constrangeri asupra valorilor acestor parametri:

$$\left( \left( \alpha \hat{1}+\vec{\beta}\cdot \overrightarrow{\ha... ... \hat{\sigma}}\right) \right) _{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }=$$

$$=\left( \left( \left\vert \alpha \right\vert ^2+\left\vert \vec{\... ...\sigma}}\right) \right) _{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }=\hat{1}$$ (7.3.33)

unde:

$$\vec{\xi}_{\uparrow (\downarrow )}=\frac{\alpha \vec{\beta}^{*}+\... ...t\vert ^2+\left\vert \vec{\beta}\right\vert ^2}\vert _{\uparrow (\downarrow )}$$

este un vector real. Din (7.3.33) rezulta:

$$\left( \left\vert \alpha \right\vert ^2+\left\vert \vec{\beta}\right\vert ^2\right) _{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }=1$$

$$\left( \alpha \vec{\beta}^{*}+\alpha ^{*}\vec{\beta}+i\left( \vec... ...vec{\beta}^{*}\right) \right) _{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }=0$$ (7.3.34)

Transformarea de stare (7.3.28) pentru o stare initiala $\frac 12\left( \hat{1}+\vec{k}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}}\right)$ da:

$$\hat{\rho}_s(\vec{k})=\frac 12\{\hat{1}[\left\vert \alpha \right\... ...t\vert ^2+\left( \alpha \vec{\beta}^{*}+\alpha ^{*}\vec{\beta}\right) \vec{k}+$$

$$+i\left( \vec{\beta}\times \vec{\beta}^{*}\right) \vec{k}]+\overr... ...vert \alpha \right\vert ^2-\left\vert \vec{\beta}\right\vert ^2\right) \vec{k}+$$ (7.3.35)

$$+i\left( \alpha \vec{\beta}^{*}-\alpha ^{*}\vec{\beta}\right) \ti... ...*}\times \vec{\beta}\right) ]\}_{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }$$

iar transformarile de stare (7.3.30) au ca rezultat doar unul din termenii de mai sus. Pentru fiecare din aceste masuratori, probabilitatea de a se obtine raspunsul ''da'' este data de:

$$f(\vec{k})_{\uparrow (\downarrow )}=\mathrm{tr}\left( \hat{\rho}_... ...ight) =[\left\vert \alpha \right\vert ^2+\left\vert \vec{ \beta}\right\vert ^2+$$ (7.3.36)

$$+\left( \alpha \vec{\beta}^{*}+\alpha ^{*}\vec{\beta}\right) \vec... ...ft( \vec{\beta}\times \vec{\beta}^{*}\right) \vec{k}]_{\uparrow (\downarrow )}$$

In (7.3.36), utilizand (7.3.34) obtinem:

$$f(\vec{k})_{\uparrow (\downarrow )}=\mathrm{tr}\left( \hat{\rho}_... ...ight) =[\left\vert \alpha \right\vert ^2+\left\vert \vec{ \beta}\right\vert ^2+$$ (7.3.37)

$$+\left( \alpha \vec{\beta}^{*}+\alpha ^{*}\vec{\beta}\right) \vec... ...ft( \vec{\beta}\times \vec{\beta}^{*}\right) \vec{k}]_{\uparrow (\downarrow )}$$

unde putem introduce notatia:

$$\vec{A}(\vec{k})=[\left( \left\vert \alpha \right\vert ^2-\left\v... ...}+i\left( \alpha \vec{\beta}^{*}-\alpha ^{*}\vec{\beta} \right) \times \vec{k}+$$ (7.3.38)

$$+2i\left( \vec{\beta}^{*}\times \vec{\beta}\right) ]_{\uparrow }+\left( .....\right) _{\downarrow }$$

pentru a scrie:

$$\hat{\rho}_s(\vec{k})=\frac 12\left( \hat{1}+\overrightarrow{\hat{\sigma}} \cdot \vec{A}(\vec{k})\right)$$ (7.3.39)

Operatorul de transformare la rotatia cu unghiul $\phi$ in jurul axei $\vec{ n}$ este:

$$\hat{U}(\phi )=\cos \left( \frac \phi 2\right) \hat{1}+i\sin \left( \frac \phi 2\right) \vec{n}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}}$$

Atunci operatorii instrumentului cuantic (7.3.28) se modifica la o astfel de rotatie cf. (7.3.31):

$$\widehat{\mathcal{A}}_m(\phi )=\left( \cos \left( \frac \phi 2\ri... ... \left( \frac \phi 2\right) \vec{n}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}} \right)$$

$$\widehat{\mathcal{A}}_{\uparrow (\downarrow )}(\phi )=[\alpha \hat{1}+\cos \phi \left( \vec{\beta}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}}\right) +$$ (7.3.40)

$$+\sin \phi \left( \left( \vec{n}\times \vec{\beta}\right) \cdot \... ...( \vec{n}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}} \right) ]_{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.41)

$$\widehat{\mathcal{A}}_{\uparrow (\downarrow )}^{\dagger }(\phi )=... ...n}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}}\right) \right) _{\uparrow (\downarrow )}$$

sau, cu notatia:

$$\vec{B}(\phi )=\cos \phi \vec{\beta}+\sin \phi \left( \vec{n}\tim... ...ta}\right) +2\sin ^2\frac \phi 2\left( \vec{n}\cdot \vec{\beta}\right) \vec{n}$$

$$\widehat{\mathcal{A}}_{\uparrow (\downarrow )}(\phi )=\left( \alp... ...c{B}(\phi )\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}}\right) _{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.42)

$$\widehat{\mathcal{A}}_{\uparrow (\downarrow )}^{\dagger }(\phi )=... ...\phi )^{*}\cdot \overrightarrow{\hat{\sigma}} \right) _{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.43)

Putem obtine relatii suplimentare pentru coeficientii instrumentului daca efectuam masuratori selective in urma unor masuratori neselective. Presupunem ca a fost efectuata masuratoarea (7.3.28) (neselectiva), dupa care efectuam o masuratoare selectiva cu un instrument rotit fata de primul cu unghiul $\phi$ in jurul unei axei $\vec{k}$. Starile in urma masuratorilor selective sunt date de:

$$\hat{\rho}_s(\vec{k},\phi )=\frac 12\{\hat{1}[\left\vert \alpha \... ...( \alpha \vec{B}(\phi )^{*}+\alpha ^{*}\vec{B}(\phi )\right) \vec{A}(\vec{k})+$$

$$+i\left( \vec{B}(\phi )\times \vec{B}(\phi )^{*}\right) \vec{A}(\... ...{\sigma}}[\left( \alpha \vec{B}(\phi )^{*}+\alpha ^{*} \vec{B}(\phi )\right) +$$

$$+\left( \left\vert \alpha \right\vert ^2-\left\vert \vec{B}(\phi ... ...{k})+i\left( \alpha \vec{B}(\phi )^{*}-\alpha ^{*}\vec{B}(\phi )\right) \times$$

$$\times \vec{A}(\vec{k})+i\left( \vec{B}(\phi )^{*}\times \vec{B}(\phi )\right) ]\}_{\uparrow (\downarrow )}$$

iar probabilitatile de:

$$f(\vec{k},\phi )_{\uparrow (\downarrow )}=\mathrm{tr}\left( \hat{\rho}_s( \vec{k},\phi )_{\uparrow (\downarrow )}\right) =$$ (7.3.44)

$$=\{\left\vert \alpha \right\vert ^2+\left\vert \vec{B}(\phi )\right\vert ^2+[\alpha \vec{B} (\phi )^{*}+\alpha ^{*}\vec{B}(\phi )\vec{A}(\vec{k})+$$

$$+i\left( \vec{B}(\phi )\times \vec{B}(\phi )^{*}\right) \vec{A}(\vec{k} )]\}_{\uparrow (\downarrow )}$$

Un caz interesant este cel al rotatiilor cu unghiuri $\phi _m=m\cdot \frac{ 2\pi }3$ ($m=0,1,2$) in jurul diagonalei principale $\vec{n}=\frac 1{\sqrt{3} }(1,1,1),$ prin care se realizeaza permutari circulare pare ale celor 3 axe, cazuri in care obtinem valorile:

$$\vec{B}_0=\vec{\beta}$$

$$\vec{B}_1=\beta _z\vec{e}_x+\beta _x\vec{e}_y+\beta _y\vec{e}_z$$ (7.3.45)

$$\vec{B}_2=\beta _y\vec{e}_x+\beta _z\vec{e}_y+\beta _x\vec{e}_z$$

Se poate observa ca o rezolvare pe cazul general este dificil de realizat, datorita problemelor legate de determinarea si, respectiv, compatibilitatea sistemului de ecuatii, (care, oricum, in aceasta forma contine ecuatii patratice).

O simplificare o aduce ipoteza unei slabe ne-idealitati, prin care sistemul de ecuatii devine liniar, conditiile de determinare si compatibilitate putand fi studiate, fie printr-o analiza detailata a tuturor combinatiilor de ecuatii care se pot scrie, fie printr-un software specializat, cum e programul Mathematica. Cazul ideal al masuratorii spinului pe directia $Oz$ este dat de proiectorii:

$$\hat{E}_{\uparrow (\downarrow )}=\frac 12\left( \hat{1}\pm \hat{\sigma} _z\right)$$

deci pentru parametrii:

$$\alpha _{\uparrow (\downarrow )}=\frac 12$$

$$\vec{\beta}_{\uparrow (\downarrow )}=\pm \frac 12\vec{e}_z$$ (7.3.46)

sunt cea mai simpla solutie pentru ecuatia:

$$\hat{E}_{\uparrow (\downarrow )}=\left( \left\vert \alpha \right\... ...ight\vert ^2\right) \hat{1}+\{[\alpha \vec{\beta}^{*}+\alpha ^{*}\vec{ \beta}+$$

$$+i\left( \vec{\beta}\times \vec{\beta}^{*}\right) ]\overrightarrow{\hat{ \sigma}}\}_{\uparrow (\downarrow )}$$

Consideram cazul unei abateri mici de la neidealitate:

$$\alpha _{\uparrow (\downarrow )}=\frac 12+\eta a_{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.47)

$$\vec{\beta}_{\uparrow (\downarrow )}=\pm \frac 12\vec{e}_z+\eta \vec{b} _{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.48)

unde $\eta$ este un parametru real mic, iar $a_{\uparrow (\downarrow )}$ si $\vec{b}_{\uparrow (\downarrow )}$ sunt marimi complexe. Introducand (7.3.47) si (7.3.48) in (7.3.36) si (7.3.44 ), si dezvoltand in ordinul I al parametrului $\eta$, se pot obtine predictiile $f$ pentru probabilitatile de obtinere a rezultatului pozitiv la diverse aranjamente experimentale posibile. Desigur, ne intereseaza doar abaterile de la neidealitate, pe care le notam cu $\delta$ $f$. Alegem reprezentarea unghiurilor sferice pentru $\vec{k}=\sin \theta \cos \varphi \cdot \vec{e}_x+\sin \theta \sin \varphi \cdot \vec{e}_y+\cos \theta \cdot \vec{e}_z$:

$$\delta f(\vec{k})_{\uparrow (\downarrow )}=[a_r+b_{rz}+\left( a_r+b_{rz}\right) \sin \theta \cos \varphi +$$

$$+\left( b_{rx}-b_{iy}\right) \sin \theta \sin \varphi +\left( b_{ry}+b_{ix}\right) \cos \theta ]_{\uparrow (\downarrow )}$$ (7.3.49)

Daca fitam datele experimentale pentru abaterile $\delta f(\vec{k} )_{\uparrow (\downarrow )}$ cu o functie:

$$\delta \mathtt{f}(\vec{k})_{\uparrow (\downarrow )}=[c_0+c_1\sin \theta \cos \varphi +$$ (7.3.50)

$$+c_2\sin \theta \sin \varphi +c_3\cos \theta ]_{\uparrow (\downarrow )}$$

atunci din (7.3.34) si identificarea dintre (7.3.49) si (7.3.50) obtinem urmatoarele constrangeri independente pentru parametrii $a_{\uparrow (\downarrow )}$ si $\vec{b}_{\uparrow (\downarrow )}$ (in total 16 parametri reali):

$$\left( a_r+b_{rz}\right) _{\uparrow }+\left( a_r+b_{rz}\right) _{\downarrow }=0$$

$$\left( b_{rx}-b_{iy}\right) _{\uparrow }+\left( b_{rx}-b_{iy}\right) _{\downarrow }=0$$

$$\left( b_{ry}+b_{ix}\right) _{\uparrow }+\left( b_{ry}+b_{ix}\right) _{\downarrow }=0$$

$$a_{r\uparrow }+b_{rz\uparrow }=c_{0\uparrow }$$

$$b_{rx\uparrow }-b_{iy\uparrow }=c_{2\uparrow }$$

$$b_{ry\uparrow }+b_{ix\uparrow }=c_{3\uparrow }$$

Un test important pentru OQP este compatibilitatea dintre predictii si rezultatele experimentale, care se exprima in parametrii de confidenta ai fitarii. In cazul unei compatibilitati acceptabile, sistemul de ecuatii de mai sus este suficient pentru determinarea parametrilor pentru efectele $\hat{F}_{\uparrow (\downarrow )}$, care sunt date, in cazul unei mici ne-idealitati, de:

$$\hat{F}_{\uparrow (\downarrow )}=\frac 12\left( \hat{1}\pm \... ...\overrightarrow{\hat{\sigma}}\right) _{\uparrow (\downarrow )}$$

$$\hat{F}_{\uparrow (\downarrow )}=\frac 12\left( \hat{1}\pm \... ...\ c_3 \end{array}\right) \overrightarrow{\hat{\sigma}}\right)$$

In cazul unei masuratori simple efectele sunt suficiente pentru determinarea oricarei probabilitati. Pentru masuratori succesive (masuratoare ne-selectiva urmata de una selectiva), este nevoie de informatii suplimentare in legatura cu parametrii. Egaland predictiile date de (7.3.36) cu valorile experimentale corespunzatoare pentru cele 3 rotatii (7.3.45) se obtin inca 7 ecuatii independente.

$$\left( a_r+b_{rz}+b_{iy}\right) _{\uparrow }+b_{iy\downarrow }=c_{0z\uparrow }$$

$$\left( a_r+b_{rz}-b_{ix}\right) _{\uparrow }-b_{ix\downarrow }=c_{0x\uparrow }$$

$$a_{r\uparrow }+b_{ry\uparrow }=c_{0y\uparrow }$$

$$b_{iy\uparrow }+b_{iy\downarrow }=2c_{0z\uparrow }$$

$$b_{ix\uparrow }+b_{ix\downarrow }=2c_{0x\uparrow }$$

$$\left( a_r-b_{rz}\right) _{\uparrow }+\left( a_r-b_{rz}\right) _{\downarrow }=2c_{1z\uparrow }$$

$$\left( a_i-b_{iz}\right) _{\uparrow }+\left( a_i-b_{iz}\right) _{\downarrow }=2c_{1x\uparrow }$$

unde cel de-al doilea indice de la parametrii experimentali definesc axa principala a dispozitivului dupa rotatia (7.3.45), si este de asteptat ca parametrii independenti aflati astfel sa fie suficienti pentru descrierea oricarei masuratori de tipul ''doi pasi''. Desigur, calculele pentru masuratori cu pasi mai multi se pot face in acelasi mod, ceea ce poate constitui un proiect viitor.