Asupra evolutiei unui sistem clasic in conditii stochastice

Daca sistemul clasic nu este controlabil in intregime, energia totala nu se mai poate conserva, astfel ca formalismul hamiltonian prezentat mai sus nu mai este aplicabil, iar descrierea evolutiei sistemului trebuie facuta in contextul teoriei proceselor stochastice. Se arata [66] ca este posibila identificarea unei variante stochastice a ''legii de conservare a energiei'' in contextul teoriei martingalelor (v. si [13]).

Fie un spatiu de probabilitati $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ pe care se defineste media conditionata a unei functii $f\in \mathcal{L}_\Omega ^1(\mu )$ ca acea functie $g$ $\mathcal{F}$-masurabila pentru care:

$$\int_Bfd\mu =\int_Bgd\mu ,\quad \forall B\subset \mathcal{F}$$

si se noteaza cu:

$$g=\Bbb{E}[f\vert\mathcal{F}]$$

Astfel, daca $\mathcal{F}$ este algebra generata de o partitie disjuncta de submultimi de masura nenula $\{A_n\}_n$ din $\Omega ,$ media conditionata se scrie:

$$\Bbb{E}[f\vert\mathcal{F}]\Bbb{=}\sum_n\Bbb{\varphi }_{A_n}\Bbb{\cdot }x_n$$

$$x_n=\frac 1{\mu (A_n)}\int_{A_n}fd\mu$$

unde $\varphi _{A_n}$ este functia caracteristica ( indicatorul) multimii $A_n$. Daca $\Delta$ este o multime dirijata si $\left\{ \mathcal{F}_\delta \right\} _{\delta \in \Delta }$ este un sir generalizat dirijat de subalgebre complete din $\mathcal{F}$ $\left( \delta _1\leq \delta _2\Rightarrow \mathcal{F}_{\delta _1}\subseteq \mathcal{F} _{\delta _2}\right) ,$ atunci un martingal este orice sir generalizat de elemente $f_\delta \in \mathcal{L}_\Omega ^1(\mu )$ pentru care:

$$\tau \geq \delta \Rightarrow \Bbb{E}[f_\tau \vert\mathcal{F}_\delta ]\Bbb{=} f_\delta \Bbb{\quad }\mu$$   -$$a.p.t.$$

Subalgebrele $\mathcal{F}_\delta$ se numesc filtrari ale lui $\mathcal{F}$ in raport cu multimea dirijata $\Delta$. In fizica cel mai interesant caz este al timpului ca multime dirijata. Filtrarea duce in timp la o partitie din ce in ce mai fina a topologiei induse de probabilitate, ceea ce inseamna ca limita superioara pentru informatia despre sistem creste; martingalul este un element maximal, pentru care informatia disponibila la un momentdat este cea maxima in topologia respectiva. In unele locuri, pentru filtrare se adauga si o continuitate la dreapta, exprimata prin relatia:

$$\bigcap_{\delta _1\leq \delta _2}\mathcal{F}_{\delta _2}=\mathcal{F}_{\delta _1}$$

ceea ce se traduce prin aceea ca ''viitorul imediat'' este incorporat in prezent. Numai in cazuri speciale (cum este cel al miscarii browniene) continuitatea la dreapta este o consecinta a completitudinii.

In continuare ne vom referi numai la cazul timpului ca multime dirijata.