Masuratori cuantice indirecte

Masuratorile directe sunt acelea în care sistemul masurat interactioneaza direct cu aparatul si în urma carora perturbatiile provocate sunt foarte mari, conducând în multe situatii chiar la disparitia sistemului masurat. Masuratorile indirecte presupun doua etape. Mai î ntâi are loc o interactiune cu un alt sistem cuantic, denumit proba cuantica, prin care se produce entanglementul dintre starea sistemului studiat (obiect) si cea a probei. În a doua etapa, proba cuantica interactioneaza cu un aparat de masura propriu-zis, macroscopic, care masoara o anumita observabila a probei, obtinându-se o valoare proprie a operatorului corespunzator. Cum în urma interactiunii din prima etapa exista o corelatie între starile probei s i ale obiectului, rezulta ca putem pune în relatie starile finale ale obiectului cu rezultatele masuratorii, deci am realizat o preparare a starii, care este reproductibila pe acelas i sistem individual. Pentru a obtine o precizie mare în urma unei masuratori indirecte, aranjamentul experimental trebuie sa îndeplineasca urmatoarele conditii:

1. a doua etapa a masuratorii nu trebuie sa î nceapa decât dupa ce înceteaza interactiunea din prima etapa

2. a doua etapa nu trebuie sa contribuie în mod semnificativ la eroarea totala.

Astfel, într-un experiment de tipul ''microscopul Heisenberg'', î n care proba cuantica este fotonul, prima etapa consta î n interactiunea cu electronul, urmata de strabaterea unei lentile. A doua etapa este interactiunea cu placa fotografica. Conditia (2) se traduce atunci prin afirmatia ca eroarea datorata dimensiunii finite a grauntelui de Ag sa fie mult mai mica decât cea datorata difractiei pe lentila. Daca sunt satisfacute aceste conditii, atunci singura sursa de nedeterminare în masuratoare este cea datorata starii probei cuantice. Marimile acestei nedeterminari si a perturbatiei induse obiectului pot fi determinate cu ajutorul ecuatiei Schrödinger, valabila în prima etapa a masuratorii. Fie cazul unei masuratori indirecte in care hamiltonianul de interactie este liniar in cei 2 operatori: $\hat{q}$ pentru obiect, iar $\hat{y}$ pentru proba cuantica. Vom neglija evolutia libera a celor doua sisteme (sau lucram intr-o imagine de interactie, pe care nu o mai explicitam):

$$\hat{H}=-\kappa {\hat{q}\otimes \hat{y}}$$

Daca starea initiala a probei este bine precizata

$$\vert{\Psi ><\Psi \vert}$$

iar obiectul este in starea starea necunoscuta $\hat{\rho}_i$, atunci dupa timpul t de interactiune, starea devine:

$$e^{-i\frac{{\hat{H}\tau }}\hbar }\hat{\rho}_i\otimes \vert{\Psi \rangle \langle \Psi \vert}e^{i\frac{{\hat{H}\tau }}\hbar }$$ (7.4.51)

A doua etapa a masuratorii este o masuratoare asupra observabilei canonic conjugate lui ${\hat{y}}$, pe care o notam cu $\hat{P}$ (si o numim impuls).realizata asupra probei, pe care o consideram exacta. Densitatea de probabilitate de a obtine valoarea $P$ a impulsului este:

$$w(P)=Tr(\hat{1}\otimes \vert P><P{\vert}e^{-i\frac{{\hat{H}\tau }... ...hat{\rho} _i\otimes \vert\Psi ><\Psi {\vert}e^{i\frac{{\hat{H}\tau }}\hbar })=$$

$$=\int\limits_{-\infty }^\infty dq<q\vert\hat{\rho}_i\vert q>\left\vert \Psi (P-\frac{ \kappa q\tau }{{\hbar }})\right\vert ^2$$

Daca notam: $\tilde{q}=\frac{{\hbar }}{\kappa {\tau }}(P-\bar{P})$ si $w_P(P)=\left\vert \Psi (P)\right\vert ^2$, unde $\bar{P}={\langle \Psi \vert}\hat{P}\vert{ \Psi \rangle }$ este valoarea asteptata a impulsului în starea initiala, obtinem:

$$w(\tilde{q})=\int\limits_{-\infty }^\infty <q\vert\hat{\rho}_i\ve... ...pa \tau }{{\hbar }}w_P(\frac{\kappa {\tau }}{{\hbar }}(\tilde{q}-q)+\bar{P})dq$$

deci putem interpreta marimea:

$$w(\tilde{q}\vert q)={\frac{\kappa {\tau }}{{\hbar }}}w_P({\frac{\kappa {\tau }}{{ \hbar }}}(\tilde{q}-q)+\bar{P})$$

ca fiind probabilitatea conditionata ca valoarea determinata a sarcinii sa fie $\tilde{q}$ daca valoarea initiala a fost $q$:

$$w(\tilde{q})=\int_{-\infty }^\infty w(\tilde{q}\vert q)<q\vert\hat{\rho}_i\vert q>dq$$ (7.4.52)

Putem scrie:

$$w(\tilde{q})=\mathrm{tr}(\hat{F}(\tilde{q})\hat{\rho}_i)$$

$$\hat{F}(\tilde{q})=\int_{-\infty }^\infty w(\tilde{q}\vert q)\vert q><q\vert dq$$

Evident, operatorii $\hat{F}(\tilde{q})$ sunt pozitivi, comuta unii cu altii si realizeaza o descompunere a unitatii:

$$\int\limits_{-\infty }^\infty \hat{F}(\tilde{q})d\tilde{q}{=\hat{1}}$$

ei alcatuind multimea efectelor acestei masuratori. Starea finala a obiectului în urma masuratorii este (daca s-a obt inut valoarea $P$ pentru impuls):

$${\hat{\rho}}_f(P)=\frac 1{w_P(P)}<P\vert e^{-i\frac{{\hat{H}\tau ... ...ho}_i\otimes \vert\Psi ><\Psi {\vert}e^{i\frac{{\hat{H}\tau }}\hbar }{\vert}P>$$

care poate fi adus la forma:

$${\hat{\rho}}_f(\tilde{q})=\frac 1{w(\tilde{q})}\widehat{\mathcal{A}}(\tilde{q })\hat{\rho}_i^{+}\widehat{\mathcal{A}}(\tilde{q})$$

unde operatorii $\widehat{\mathcal{A}}$ sunt:

$$\widehat{\mathcal{A}}(\tilde{q})=\sqrt{\frac{\kappa \tau }\hbar }... ...}^\infty dq\vert q><q\vert\Psi _P(\frac{{e\tau }}{{cd}}(\tilde{q} -q)+\bar{P})$$

Acestia sunt operatorii instrumentului cuantic corespunzator masuratorii indirecte. Intr-adevar:

$$\widehat{\mathcal{A}}^{+}(\tilde{q})\widehat{\mathcal{A}}(\tilde{q})=\hat{F}( \tilde{q})$$

Atunci se poate scrie:

$$\widehat{\mathcal{A}}(\tilde{q})=\hat{U}(\tilde{q})\hat{F}^{{1/2}}(\tilde{q} )$$

unde $\hat{U}$ este un operator unitar. In literatura [7], aceasta descompunere teoretica este interpretata prin posibilitatea de a descompune procesul de masuratoare în doi pasi. Mai î ntâi o transformare ireversibila data de:

$$\hat{\rho}^{\prime }(\tilde{q})=\frac 1{{w(\tilde{q})}}\hat{F}^{{1/2}}( \tilde{q})\hat{\rho}_i^{{1/2}}\hat{F}(\tilde{q})$$

(masuratoare selectiva), urmata de o transformare unitara:

$$\hat{\rho}(\tilde{q})=\hat{U}(\tilde{q})\hat{\rho}^{\prime }(\tilde{q})\hat{U }^{+}(\tilde{q})$$

Primul pas nu contribuie la modificarea observabilei $\hat{q}$, î ntrucât aceasta comuta cu

$$\hat{F}^{{1/2}}(\tilde{q})$$

In schimb, se sustine ca operatorul $\hat{U}$ nu poate fi determinat dupa o reteta generala, ci numai tinând seama de toate detaliile interactiunii. Efectele perturbatiei produse prin masuratoare sunt continute în actiunea acestui operator. Totusi, fiind vorba de un operator unitar, entropia nu se schimba, deci acest. pas nu conduce la obtinerea unei informatii de catre observator. Daca impunem conditia ca masuratoarea sa nu conduca la perturbarea cantitatii masurate, aceasta se traduce matematic în:

$$\left[ \hat{U}(\tilde{q}),\hat{q}\right] =0\quad \forall \tilde{q}$$

Astfel de masuratori se numesc neperturbative.