Decoerenta la masuratoarea cuantica

Dupa cum am arata in capitolul 3, fenomenul decoerentei cuantice este foarte important, ceea ce a facut ca el sa fie studiat in variate abordari (care pun accentul pe caracterul macroscopic al aparatului de masura - aici se includ si modelele ce utilizeaza reguli de superselectie, pe disipatia produsa de interactiune, etc.)

Una dintre acestea, cauta sa obtina o extensie de tip stochastic pentru ecuatia Schrödinger [124,103,122,188,148,64,92] . In aceste modele, ecuatia Schrödinger devine o ecuatie diferentiala stochastica pe spatiul Hilbert si, pentru o observabila stationara (al carui operator ${\hat{F}}$ comuta cu hamiltonianul determinist al sistemului ${ \hat{H})}$ se cauta acele dezvoltari stochastice ale ecuatiei, care conduc la o stare finala aleatoare (mixta), data de amestecul starilor proprii ale observabilei (comune cu cele ale hamiltonianului) cu coeficientii corespunzatori ce sunt dati de interpretarea probabilista Born [187,122]. Cel mai folosit este modelul in care operatorul ${\hat{F}}$ este chiar hamiltonianul [103,188,148,64,92]. Se arata, astfel, ca procesul stochastic definit de valoarea asteptata a hamiltonianului pentru o astfel de evolutie este un martingal, iar proprietatea de martingal constituie pentru sistemul respectiv un enunt echivalent cu o varianta slaba a legii de conservare a energiei [66] .

Totusi, din punctul de vedere al unei teorii a masuratorilor cuantice, astfel de abordari nu sunt suficiente, pentru ca cea mai importanta componenta a interactiei dintre sistem si aparatul de masura, este cea responsabila de transferul de informatie de la sistem la aparat. Pentru ca acest transfer sa aiba loc, trebuie ca generatorul evolutiei comune a celor doua sisteme, adica operatorul hamiltonian, sa fie non-separabil, in sensul definitiilor referitoare la operatorul de stare a doua sisteme ce interactioneaza.

Presupunem ca aparatul poate fi descris cuantic, cu ajutorul unui spatiu Hilbert $\mathcal{H}_a$ a carui dimensiune este cel putin egala, dar nu neaparat legata de dimensiunea spatiului Hilbert al sistemului investigat $\mathcal{H}$; un hamiltonian de interactie separabil, in sensul definitiei de la (3.2.5) poate fi scris in forma:

$$\hat{H}_0=\sum_{m,n=1}^ME_{mn}\hat{\Pi}_m^{(1)}\otimes \hat{\Pi}_n^{(2)}$$ (7.5.53)

Evident, actiunea operatorului de transpozitie partiala $\widehat{\mathcal{T} }$ nu modifica expresia lui $\hat{H}_0,$ deci $\widehat{\mathcal{T}}\hat{H} _0$ este pozitiv semidefinit, conform criteriului Peres. Desigur, pentru ca hamiltonianul sa fie neseparabil, trebuie ca el sa incalce acest criteriu. Cel mai simplu hamiltonian separabil se obtine daca in (7.5.53) operatorii $\left\{ \hat{\Pi}_m^{(i)}\right\}$ sunt proiectori unidimensionali:

$$\hat{H}_0=\sum_{m,n=1}^ME_{mn}\vert m\rangle \langle m\vert\otimes \vert n\rangle \langle n\vert$$ (7.5.54)

(unde am folosit aceeasi notatie pentru vectorii apartinand celor 2 spatii Hilbert, ca expresie a existentei unei aplicatii injective de la spatiul Hilbert al sistemului studiat la cel al aparatului, cea care leaga starile sistemului de cele rezultate din masuratoare ale aparatului). Coerspunzator lui (7.5.54) se poate scrie cel mai simplu operator pur ne-separabil:

$$\hat{H}=\sum_{m,n=1}^ME_{mn}\vert m\rangle \langle n\vert\otimes \vert n\rangle \langle m\vert$$ (7.5.55)

Desigur, (7.5.55) trebuie sa fie autoadjunct, de unde rezulta conditia:

$$E_{mn}=E_{nm}^{*}$$

Aplicand operatorul de transpozitie partiala, se obtine:

$$\widehat{\mathcal{T}}\hat{H}=\sum_{m,n=1}^ME_{mn}\vert n\rangle \langle m\vert\otimes \vert n\rangle \langle m\vert$$

care este un operator in forma diagonala, si ale carui elemente de matrice pe diagonala principala, sunt, in general, marimi complexe. rezulta de aici ca (7.5.55) este un operator nonseparabil, in sensul lui Peres. In continuare studiem evolutia unui sistem pentru care generatorul este hamiltonianul (7.5.55):

$$\hat{U}(t)=\exp \left( -\frac i\hbar \hat{H}t\right) =\sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!}\left( -\frac i\hbar \hat{H}t\right) ^k$$ (7.5.56)

Daca notam cu:

$$\frac 1\hbar E_{mn}=\omega _{mn}\phi _{mn}$$

unde $\omega _{mn}$ este modulul, iar $\phi _{mn}$ este factorul complex de modul unitate si dezvoltam in (7.5.55), se obtine:

$$\hat{U}(t)=\sum_{m,n=1}^M\left( \cos \left( \omega _{mn}t\right) ... ...ight) \vert m\rangle \langle n\vert\otimes \vert n\rangle \langle m\vert\right)$$ (7.5.57)

Evolutia starii este data de:

$$\hat{\rho}(t)=\hat{U}(t)\hat{\rho}^{(0)}\hat{U}^{\dagger }(t)=$$ (7.5.58)

$$= \sum_{i,j,m,n=1}^M\{\cos \left( \omega _{ij}t\right) \cos \left( ... ...ij;mn}^{(0)}\vert i\rangle \langle m\vert\otimes \vert j\rangle \langle n\vert+$$

$$+\phi _{ij}^{*}\phi _{mn}\sin \left( \omega _{ij}t\right) \sin \l... ...ji;mn}^{(0)}\vert i\rangle \langle n\vert\otimes \vert j\rangle \langle m\vert+$$

$$+i[\phi _{mn}\cos \left( \omega _{ij}t\right) \sin \left( \omega ... ...ij;mn}^{(0)}\vert i\rangle \langle n\vert\otimes \vert j\rangle \langle m\vert-$$

$$-\phi _{ij}^{*}\sin \left( \omega _{ij}t\right) \cos \left( \omeg... ...;mn}^{(0)}\vert i\rangle \langle m\vert\otimes \vert j\rangle \langle n\vert]\}$$

Pana aici nu au fost impuse restrictii suplimentare asupra sistemului (2) sau a interactiunii, deci caracterul macroscopic al aparatului nu a fost adus in discutie. In continuare vom retine urmatoarelele caracteristici ale interactiunii:

1. timpii caracteristici dati de inversele frecventelor $\left\{ \omega _{ij}\right\}$ sunt mult mai mici decat timpul necesar masuratorii, astfel ca acesta poate fi considerat infinit la o mediere in raport cu timpul in (7.5.58)

2. frecventele $\left\{ \omega _{ij}\right\}$ sunt in mare masura nedegenerate

Conditiile (1) si (2) sunt intotdeauna respectate de un instrument de masura macroscopic, dar ele pot fi indeplinite, intr-o masura suficienta, si de o proba cuantica. Presupunem ca frecventele sunt total degenerate. Daca in (7.5.58) efectuam o mediere in raport cu timpul:

$$\hat{\rho}_f=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac 1T\int_0^T\hat{\rho}(t)dt$$ (7.5.59)

primii doi termeni sunt diferiti de 0 doar pentru $i=j$ si $m=n,$ iar ultimii doi sunt toti nuli. Atunci obtinem:

$$\hat{\rho}_f=\frac 12\sum_{i,m=1}^M\left( \rho _{ii;mm}^{(0)}\ver... ...^{(0)}\vert i\rangle \langle m\vert\otimes \vert i\rangle \langle m\vert\right)$$ (7.5.60)

$$\hat{\rho}_f=\sum_{i,m=1}^M\rho _{ii;mm}^{(0)}\vert i\rangle \langle m\vert\otimes \vert i\rangle \langle m\vert$$ (7.5.61)

Deci operatorul de stare final pentru sistemul compus, dupa masuratoare, este in forma diagonala, ceea ce inseamna ca un hamiltonian de tipul (7.5.55) asigura decoerenta starii finale, fara un apel direct la teoria ergodica, la reguli de superselectie artificiale sau la efectuarea urmei partiale pe spatiul aparatului. Desigur, daca frecventele sunt intr-o oarecare masura degenerate, termenii micsti corepunzatori vor ramane nenuli, deci decoerenta va fi partiala.