Evolutia unui sistem cuantic

Conceptul de sistem cuantic izolat a fost foarte important la inceputul teoriei cuantice. Folosirea sa este legata de forma clasica (tare) principiului de individualizare, care cere o existenta distincta, separata, pentru orice sistem fizic de studiat din punct de vedere experimental. Experimentul este o investigatie strict teleologica, pentru ca initial este necesara stabilirea scopului investigatiei, care - ca si concept, apartine unui nucleu teoretic. Acest scop se materializeaza intr-o procedura pentru procesul masuratorii, care se constituie intr-o instanta pentru validarea intregului nucleu teoretic in raport cu domeniul realitatii. Validarea se realizeaza prin compararea datelor numerice (organizate in propozitii empirice), cu datele teoretice (organizate in propozitii predictive). Procedura de masurare este stabilita la nivel teoretic, fie printr-o teorie validata anterior (ca in cazul teoriilor clasice ale mecanicii si termodinamicii), fie de chiar teoria ce urmeaza a fi verificata (teoria relativitatii si mecanica cuantica). G. Ludwig a aratat [35] ca exista posibilitatea de a axiomatiza mecanica cuantica, evitand la nivel epistemologic autoreferentierea pomenita aici, prin acceptarea caracterului stochastic intrinsec pentru fenomenele pur cuantice. Acest caracter este legat de o forma slaba a principiului de individuatie, compatibila si cu indiscernabilitatea pur cuantica a particulelor identice.

Problemele conceptuale cele mai importante ale teoriei cuantice sunt legate de: descrierea evolutiei unui sistem cuantic individual in timpul unei masuratori, non-localitatea acestor masuratori pentru sisteme cuantice corelate, dar separate spatial, etc. Desigur, aceste probleme sunt legate de individualizarea pomenita mai sus. In general, sistemele cuantice deschise se pot studia in acelasi referential al teoriei cuantice pentru sisteme izolate, prin considerarea unui sistem cuantic largit, care sa contina sistemul studiat + mediul (sau acea portiune din mediu care este importanta). Starea ''mediului'' trebuie descrisa, in cadrul formalismului mecanicii cuantice, utilizand concepte stochastice (atat clasice -pentru ignoranta subiectiva cu privire la starea microscopica, cat si intrinseci, pur-cuantice). De aceea, predictiile pentru starea sistemului deschis studiat trebuie sa ia forme stochastice; evolutia sistemului este descrisa de o ecuatie master, si nu de una de tip Liouville. In imaginea Heisenberg, observabilele sistemului studiat isi pierd proprietatea de auto-adjunctitate, ramanand doar maximal-hermitice, sau masurile spectrale corespunzatoare de tip proiectorial, raman doar masuri cu valori operatori pozitivi (POVM). Din punct de vedere matematic, exista o teorema, datorata lui Naimark, care se poate asocia imaginii sistem+mediu, amintita mai sus: dat fiind un spatiu Hilbert $\mathcal{H}$ unde este definita o POVM $\{ \hat{F}(B)\}_{B\in \mathcal{B}}$, acesta se poate extinde la un alt spatiu Hilbert $\tilde{\mathcal{H}}$, echipat cu o masura proiectoriala $\{\hat{E} (B)\}_{B\in \mathcal{B}}$, pentru care este valabila urmatoarea relatie:

$$\hat{F}\mathrm{(B)=}\hat{\Pi}\hat{E}\mathrm{(B)\ }\forall B\in \mathcal{B}$$

unde $\hat{\Pi}$ este proiectia canonica $\tilde{\mathcal{H}}\to \mathcal{H},$ iar $\mathcal{B}$ este multimea seturilor Boreliene.

Fie $\hat{H}_s$ hamiltonianul pentru sistemul cuantic deschis studiat in conditii de izolare (actioneaza in spatiul Hilbert $\mathcal{H}_s$), $\hat{H} _b$ hamiltonianul pentru mediu, considerat de asemenea in conditii de izolare (actioneaza in spatiul Hilbert $\mathcal{H}_b$), iar $\hat{H}_i$ hamiltonianul de interactie, care actioneaza in produsul tensorial:

$$\mathcal{H}=\mathcal{H}_s\otimes \mathcal{H}_b$$

Evolutia sistemului compus este data de operatorul hamiltonian:

$$\hat{H}=\hat{H}_s\otimes \hat{1}+\hat{1}\otimes \hat{H}_b+\hat{H}_i$$

in timp ce starea este descrisa de un operator densitate $\hat{\rho}$ definit in $\mathcal{H}$. Se poate arata ca $\mathcal{A}$, algebra operatorilor marginiti autoadjuncti care actioneaza in $\mathcal{H}$ se poate factoriza ca:

$$\mathcal{A}=\mathcal{A}_0\otimes \mathcal{C}$$

(unde $\mathcal{A}_0$ si $\mathcal{C}$ sunt subalgebrele operatorilor marginiti autoadjuncti care actioneaza , respectiv, in $\mathcal{H}_s$ si $\mathcal{H}_b$). In cazul non-interactiv, presupunem ca sistemul total este intr-o stare factorizata:

$$\hat{\rho}=\hat{\rho}_s\otimes \hat{\rho}_b$$ (1.3.2)

unde $\hat{\rho}_s$ si $\hat{\rho}_b$ sunt operatori densitate care actioneaza in $\mathcal{H}_s$ si $\mathcal{H}_b$. In general, daca $\hat{H} _i\ne 0$, nu se poate efectua factorizarea (1.3.2). Pentru $\hat{\rho}_b$ fixat, aplicatia:

$$\hat{\rho}_s\mapsto \hat{\rho}_s\otimes \hat{\rho}_b$$

definita de la predualul lui $\mathcal{A}_0$ la predualul lui $\mathcal{A}$ are ca adjuncta unui proiector cu norma $1$, care poate fi identifiacat cu o medie conditionata, data de:

$$x\otimes y(\in \mathcal{A})\mapsto \varphi _b(y)\cdot x(\in \mathcal{A}_0)$$ (1.3.3)

unde $\varphi _b$ este aplicatia indusa pe $\mathcal{C}$ de catre operatorul densitate $\hat{\rho}_b$. In conditii interactive se poate defini operatia urma partiala pe multimea operatorilor densitate din $\mathcal{H}$, indusa prin linearitate si continuitate din:

$$\hat{\rho}_1\otimes \hat{\rho}_2\mapsto tr_b(\hat{\rho}_2)\cdot \hat{\rho}_1$$

Urma partiala este un proiector de la predualul lui $\mathcal{A},$ la predualul lui $\mathcal{A}_0,$ in timp ce aplicatia adjuncta:

$$i_0:\mathcal{A}_0\to \mathcal{A}$$

este un *-homomorfism injectiv, care poate fi identificat cu o variabila aleatoare noncomutativa. Efectuand urma partiala la diverse momente de timp se obtine un proces stochastic.

Sistemul compus fiind izolat, evolueaza unitar:

$$\hat{\rho}\mapsto \hat{U}(t)\cdot \hat{\rho}\cdot \hat{U}(t)^{+},\;t\in \Bbb{ R}$$ (1.3.4)

unde:

$$\hat{U}(t)=\exp \left( {\frac{{i\cdot t}}\hbar \cdot \hat{H}}\right)$$

$\left\{ \hat{U}(t)\right\} _{t\in \Bbb{R}}$ este un grup cu parametru de operatori unitari, iar ${\hat{H}}$ este generatorul acestui grup. (Acest tip de evolutie este chiar evolutia in imagine Schrodinger.) Adjuncta aplicatiei (1.3.4) este un grup cu parametru de automorfisme in $\mathcal{A}$:

$$\hat{x}\mapsto \hat{U}^{+}(t)\cdot \hat{x}\cdot \hat{U}(t)$$ (1.3.5)

(imaginea Heisenberg). Evolutia sistemului studiat, in imagine Heisenberg, este data de un semigrup $\hat{T}(t)$, actionand in $\mathcal{A}_0$ care este adjunctul aplicatiei:

$$\hat{\rho}_s\mapsto tr_b(\hat{U}(t)\hat{\rho}_s\otimes \hat{\rho}_b\hat{U} ^{+}(t))$$ (1.3.6)

Desigur, (1.3.6) are sens numai daca exista un moment de timp in care corelatiile cuantice dintre cele doua sisteme pot fi considerate zero. Mai mult, evolutia data de semigrupul $\hat{T}(t)$ nu poate, in general, pastra caracterul autoadjunct al operatorilor din algebra $\mathcal{A}_0$, ceea ce inseamna ca masurile proiectoriale corespunzatoare observabilelor devin doar masuri operatoriale pozitive. Intr-adevar, daca $\hat{E}(x)$ este un proiector ( $\hat{E}(x)^2=\hat{E}(x)$), actiunea semigrupului de evolutie este data de:

$$\hat{T}_t\hat{E}(x)=Tr_b((\hat{U}^{\dagger }(t)\hat{E}(x)\otimes \hat{1}_b \hat{U}(t)\cdot (\hat{1}_s\otimes \hat{\rho}_b))$$ (1.3.7)

depinzand de starea initiala a rezervorului. Desigur, in general, aceasta expresie nu poate respecta conditia de idempotenta deci nu poate fi proiector [53].